「最小値」について

　私立 立教大学 2011年 第3問

座標平面上の点A(1,1)を中心とする円(x-1)2+(y-1)2=1上を，点P0(2,1)から出発して一定の速度で反時計回りに動く点Pと，座標平面上の点B(-1,-1)を中心とするもう1つの円(x+1)2+(y+1)2=1上を，点Q0(-1,0)から出発して反時計回りに動く点Qについて考える．点Pと点Qが各円周上を進む速度は等しいものとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)図に示すように∠P0APならびに∠Q0BQをθとす・・・

　私立 上智大学 2011年 第3問

座標平面において，動点Pの座標(x,y)が時刻tの関数として
x=t^{1/4}(1-t)^{3/4},y=t^{3/4}(1-t)^{1/4}(0≦t≦1)
で与えられている．
(1)動点Pのx座標が最大になるのはt=\frac{[ナ]}{[ニ]}のときであり，y座標が最大になるのはt=\frac{[ヌ]}{[ネ]}のときである．
(2)0＜t＜1のとき，動点Pの速さの最小値は\frac{\sqrt{[ノ]}}{\kakko{ハ・・・

　私立 上智大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)x＞1とする．
\sqrt{log2x}＞log2√x
を満たすxの値の範囲は[ア]＜x＜[イ]である．
(2)xの関数
y=√2(sinx-cosx)-sinxcosx+1(-π/2≦x≦π/2)
を考える．
(i)t=sinx-cosxとおくと，
y=\frac{[ウ]}{[エ]}t2+\sqrt{[オ]}t+\frac{[カ]}{[キ]}
が成り立つ．
(ii)x=\frac{\kakko{・・・

　私立 上智大学 2011年 第2問

Oを原点とする座標平面上に，放物線F:y=x2+1および，点A(5,0)を中心とする半径4の円Cがある．F上に点P(t,t2+1)，C上に点Q(a,b)をとる．
(1)Pにおける放物線Fの接線と直線APとが直交するとき，線分APの長さは[タ]\sqrt{[チ]}である．
(2)Qを固定し，Pのみが動くとする．△OPQの面積はt=\frac{[ツ]}{[テ]}b/aで最小値をとる．その最小値をaで表すと
・・・

　私立 立教大学 2011年 第1問

次の空欄ア～スに当てはまる数を記入せよ．
(1)点P(1,2)と点Q(0,-1)を通り，点Qでの接線の傾きが2である円の方程式は(x-[ア])2+(y-[イ])2=[ウ]である．
(2)ベクトルa=(-2,2,1)，ベクトルb=(-5,4,3)のとき，ベクトルaと2ベクトルa-ベクトルbのなす角度は[エ]である．
(3)sinx+√3cosx-2=0(0＜x＜π)を解くと，x=[オ]である．
(4)数列1/1,1/2,2/2,\frac{1}{・・・

　私立 日本女子大学 2011年 第1問

aを1より大きい定数とする．関数
f(x)=(log2x)2-log2x4+1(1≦x≦a)
の最小値を求めよ．

　私立 日本女子大学 2011年 第3問

1≦x≦3のとき，関数f(x)=∫_{x-1}^{x+1}|12-3t2|dtの最小値を求めよ．また，そのときのxの値を求めよ．

　私立 学習院大学 2011年 第1問

a,bを実数とする．3次関数y=x3-3ax2-3bxがx=pとx=qとで極値をとるものとする．
(1)-1≦p≦0かつ1≦q≦2となるような点(a,b)の動く範囲を平面上に図示せよ．
(2)(a,b)が上の範囲を動くとき，a+bの最大値と最小値を求めよ．

　私立 学習院大学 2011年 第2問

xがx≧0を満たす実数全体を動くとき，関数
y=e^{-√3x}sinx
の最大値と最小値，およびそれらを与えるxの値を求めよ．

　私立 学習院大学 2011年 第4問

mは正の実数である．放物線C1:y=x2+m2上の点PにおけるC1の接線と放物線C2:y=x2との交点をA，Bとし，C2上のAとBの間の点Qに対して，直線AQとC2とで囲まれる領域の面積と，直線QBとC2とで囲まれる領域の面積の和をSとする．QがC2上のAとBの間を動くときのSの最小値はPの取り方によらないことを示し，その値をmを用いて表せ．