「最小」について

　国立 広島大学 2013年 第1問

-π/2＜θ＜π/2とする．座標平面上で原点Oを通り傾きがtanθの直線をℓとし，行列
(\begin{array}{cc}
cos2θ&sinθcosθ\
sinθcosθ&sin2θ
\end{array})
の表す1次変換をfとする．座標平面上に2点P,Qがある．次の問いに答えよ．
(1)線分OPが直線ℓと垂直であるとき，1次変換fによる点Pの像を求めよ．
(2)1次変換fによる点Q・・・

　国立 新潟大学 2013年 第3問

正の整数nに対してan=\sqrt{1+n2}-nとおく．次の問いに答えよ．
(1)不等式\frac{1}{2n+1}＜an＜1/2nが成り立つことを示せ．
(2)不等式an＞a_{n+1}が成り立つことを示せ．
(3)an＜0.03となる最小の正の整数nを求めよ．

　国立 信州大学 2013年 第6問

aを定数とする．放物線y=a-x2の接線のうち，原点との距離が最小になるものの方程式を求めよ．またそのときの距離を求めよ．

　国立 神戸大学 2013年 第3問

cを0＜c＜1をみたす実数とする．f(x)を2次以下の多項式とし，曲線y=f(x)が3点(0,0)，(c,c3-2c)，(1,-1)を通るとする．次の問いに答えよ．
(1)f(x)を求めよ．
(2)曲線y=f(x)と曲線y=x3-2xで囲まれた部分の面積Sをcを用いて表せ．
(3)(2)で求めたSを最小にするようなcの値を求めよ．

　国立 九州大学 2013年 第2問

座標平面上で，次の連立不等式の表す領域をDとする．
x+2y≦5,3x+y≦8,-2x-y≦4,-x-4y≦7
点P(x,y)が領域D内を動くとき，x+yの値が最大となる点をQとし，最小となる点をRとする．以下の問いに答えよ．
(1)点Qおよび点Rの座標を求めよ．
(2)a＞0かつb＞0とする．点P(x,y)が領域D内を動くとき，ax+byが点Qでのみ最大値をとり，点Rでのみ最小値をとるとする．このとき，\frac・・・

　国立 熊本大学 2013年 第2問

Oを原点とする空間内の2点A(-1,1,1)，B(2,1,-2)に対して，ベクトルOA・ベクトルOP≧0かつベクトルOB・ベクトルOP≧0を満たす平面OAB上の点Pからなる領域をDとする．以下の問いに答えよ．
(1)実数kに対して，ベクトルOQ=kベクトルOA+(1-k)ベクトルOBによって定まる点Qが領域Dに含まれるとき，kの値の範囲を求めよ．
(2)点Cを中心とする半径√6の円が領域Dに含まれるとき，|ベクトルOC|が最小となるCの・・・

　国立 千葉大学 2013年 第1問

a,bを正の整数とする．このとき，関数
y=|x2-ax+\frac{a2|{2}-5}
のグラフと直線y=bとの共有点を考える．
(1)共有点が3個になるような(a,b)の組をすべて求めよ．
(2)共有点が1個になるような(a,b)の組のうち，bが最小になるものを求めよ．

　国立 千葉大学 2013年 第3問

1辺の長さが3の正四面体OABCにおいて，辺BCを1:2に内分する点をDとする．また，辺OC上に点Eをとり，CE=tとする．
(1)ADの長さを求めよ．
(2)cos∠DAEをtを用いて表せ．
(3)△ADEの面積が最小になるときのtの値とそのときの面積を求めよ．

　国立 千葉大学 2013年 第5問

a,bを実数とし，a＞0とする．放物線y=\frac{x2}{4}上に2点A(a,\frac{a2}{4})，B(b,\frac{b2}{4})をとる．点Aにおける放物線の接線と法線をそれぞれℓAとnA，点Bにおける放物線の接線と法線をそれぞれℓBとnBとおいたとき，ℓAとℓBが直交しているものとする．2つの接線ℓA,ℓBの交点をPとし，2つの法線nA,\・・・

　国立 香川大学 2013年 第2問

数列{an}を次のように定める．
a1=2,{\begin{array}{ll}
an＜100　のとき，　&a_{n+1}=an+3\
an≧100　のとき，　&a_{n+1}=an-100
\end{array}.
このとき，次の問に答えよ．
(1)an＞a_{n+1}を満たす最小の自然数nをmとおく．m,a_{m}およびΣ_{k=1}makを求めよ．
(2)a_{105}およびΣ_{k=1}^{105}akを求めよ．