「有理数」について

　公立 鳥取環境大学 2013年 第5問

以下の問に答えよ．
(1)次の(i)～(iii)の文章が命題であれば真偽を答えよ．また真の場合は理由を示し，偽の場合は反例を示せ．命題でない場合は「命題でない」と答えよ．
(i)xが整数ならばx2≧0である．
(ii)nが2以上の整数であるとき2n-1はすべて素数である．
(iii)数学は美しい．
(2)次の(i)～\tokeigoの[]の中に，必要条件であるが十分条件でない，十分条件であるが必要条件でない・・・

　国立 京都大学 2012年 第4問

次の各問に答えよ．
(1)\sqrt[3]{2}が無理数であることを証明せよ．
(2)P(x)は有理数を係数とするxの多項式で，P(\sqrt[3]{2})=0を満たしているとする．このときP(x)はx3-2で割り切れることを証明せよ．

　国立 奈良女子大学 2012年 第3問

aとbは異なる整数で，ともに0以上9以下とする．有理数xが次のように循環小数で表されているとする．
x=0.abababab・・・
次の問いに答えよ．
(1)99xは自然数であることを示せ．
(2)33xが自然数となるようなxを1つ求めよ．
(3)11xが自然数となるときのa+bの値を求めよ．

　私立 成城大学 2012年 第2問

次の文章内の[ア]～[コ]に適当な式または数値を入れよ．ただし，[ク]～[コ]はそれぞれ3つの自然数の組である．
(1)xy平面上で，点(-1,0)を通る傾きtの直線を考える．この直線が円x2+y2=1と点(x,y)（ただし，x＞0，y＞0）で交わるとき，yはtとxで，
y=[ア](i)
のように表される．この式を円の方程式x2+y2=1に代入して，xに関する2次方程式[イ]=0を得る．
この方程式を解いて，
x=[ウ]\tokei・・・

　公立 兵庫県立大学 2012年 第1問

次の問に答えなさい．
(1)実数x,yに関する以下の命題で正しいものは証明し，誤っているものは反例をあげなさい．
(i)xとyが共に無理数であることはx+yが無理数であることの十分条件である．
(ii)xとyのいずれかが無理数であることはx+yが無理数であることの必要条件である．
(iii)xが有理数でyが無理数であることはx+yが無理数であることの十分条件である．
(2)数列{an}をa1=1,a2=1,an=a_{n-2}+a_{n-1}・・・

　公立 大阪府立大学 2012年 第2問

関数f(x)=\frac{2x-1}{2x+1}について，以下の問いに答えよ．
(1)f\biggl(1/2\biggr)を求めよ．
(2)f(2x)=\frac{2f(x)}{1+f(x)2}を示せ．
(3)すべての自然数nに対してbn=f\biggl(\frac{1}{2n}\biggr)は無理数であることを，数学的帰納法を用いて示せ．ただし，有理数r,sを用いて表される実数r+s√2はs≠0ならば無理数であることを，証明なく用いてもよい．

　国立 東京大学 2011年 第2問

実数xの小数部分を，0≦y＜1かつx-yが整数となる実数yのこととし，これを記号\langlex\rangleで表す．実数aに対して，無限数列{an}の各項an(n=1,2,3,・・・)を次のように順次定める．
 (i)a1=\langlea\rangle
(ii){
\begin{array}{l}
an≠0　のとき，　a_{n+1}=\langle\frac{1}{an}\rangle\phantom{\frac{1}{[]}}\\
an=0　のとき，　a_{n+1}=0\phantom{\frac{1}{[]}}
\end{array}
\r・・・

　国立 神戸大学 2011年 第4問

aは正の無理数で，a3+3a2-14a+6,Y=a2-2aを考えると，XとYはともに有理数である．以下の問に答えよ．
(1)整式x3+3x2-14x+6を整式x2-2xで割ったときの商と余りを求めよ．
(2)XとYの値を求めよ．
(3)aの値を求めよ．ただし，素数の平方根は無理数であることを用いてよい．

　国立 山口大学 2011年 第2問

座標平面上の自然数を成分とする点(m,n)に，有理数n/mを対応させる．下図のように，点(1,1)から矢印の順番に従って，対応する有理数を並べ，次のような数列をつくる．\\
1/1,1/2,2/2,2/1,1/3,2/3,3/3,3/2,3/1,1/4,2/4,3/4,4/4,4/3,4/2,4/1,・・・\\
このとき，次の問いに答えなさい．
(1)有理数\dis・・・

　国立 佐賀大学 2011年 第2問

多項式f(x)=x4-x3+cx2-11x+dについて，f(1+√2)=0が成り立つとする．ここで，c,dは有理数とする．次の問いに答えよ．
(1)S={a+√2b\;|\;a,b　は有理数　}とする．集合Sの元z=a+√2b(ただし，a,bは有理数)に対して，j(z)=a-√2bと定義する．Sの任意の元z,wに対して，j(z+w)=j(z)+j(w)およびj(zw)=j(z)j(w)が成り立つことを示せ．
(2)(1)を用いて，Sの元zがf(z)=0を満たせば，f(j(z))=0が成り立つことを示せ．このことを用いて，f(1-√2・・・