「楕円」について

　国立 熊本大学 2012年 第2問

実数cに対して，行列
A=\biggl(\begin{array}{cc}
1&-c\\
c&1
\end{array}\biggr)
で表される1次変換をTとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)Tは原点の回りの回転移動と原点中心の拡大(相似変換)との合成変換であることを示せ．
(2)xy平面上の同一直線上にない3点P，Q，RがTによってそれぞれP´，Q´，R´に移るとする．三角形P´Q´R´の面積が三角形PQRの面積の2倍となるcの値を求めよ．
(3)c=2とする．楕円
E:\frac{x2}{4}+y2=1
上・・・

　国立 熊本大学 2012年 第2問

実数cに対して，行列
A=\biggl(\begin{array}{cc}
1&-c\\
c&1
\end{array}\biggr)
で表される1次変換をTとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)xy平面上の同一直線上にない3点P，Q，RがTによってそれぞれP´，Q´，R´に移るとする．三角形P´Q´R´の面積が三角形PQRの面積のk倍(k≧1)となるcの値を求めよ．
(2)楕円
E:\frac{x2}{4}+y2=1
上の点がTによって楕円E´上の点に移るとする．楕円E´上のすべての点が楕円・・・

　国立 弘前大学 2012年 第6問

xy平面上の楕円4x2+9y2=36をCとする．
(1)直線y=ax+bが楕円Cに接するための条件をaとbの式で表せ．
(2)楕円Cの外部の点PからCに引いた2本の接線が直交するような点Pの軌跡を求めよ．

　国立 新潟大学 2012年 第1問

平面上の点P(x,y)を
(\begin{array}{c}
X\\
Y
\end{array})=(\begin{array}{cc}
1&a\\
a&2
\end{array})(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array})
によって定められる点Q(X,Y)に移す移動を考える．ここで，aは実数とする．楕円C:x2+4y2=1が与えられているとき，次の問いに答えよ．
(1)点P(x,y)が楕円C上を動くとき，点Q(X,Y)は円D:X2+Y2=1上を動くとする．このときaの値を求めよ．
(2)点P(x,y)・・・

　国立 香川大学 2012年 第2問

楕円C1:\frac{x2}{a2}+\frac{y2}{b2}=1および双曲線C2:\frac{x2}{a2}-\frac{y2}{b2}=1について，次の問に答えよ．ただし，a＞0,b＞0とする．
(1)楕円C1上の点(x1,y1)における接線の方程式は
\frac{x1x}{a2}+\frac{y1y}{b2}=1
であることを示せ．
(2)楕円C1の外部の点(p,q)を通るC1の2本の接線の接点をそれぞれA1，A2とする．直線A1A2の方程式は
\frac{px}{a2}+\frac{qy}{b2}=1
であることを示せ．
(3)(p,q)が双曲線・・・

　国立 山梨大学 2012年 第1問

次の問題文の枠内にあてはまる数あるいは数式を答えよ．
(1)関数f(x)がpを周期とする周期関数であるとは，すべてのxで等式[]が成立することである．関数g(x)=sin2(5x+π/3)の正の最小の周期は[]である．
(2)実数xが-π＜x≦πのとき，無限級数Σ_{k=1}^∞sinkxが収束する条件は，xの値が[]以外のときであり，収束するときの無限級数の和は[]である．
(3)∫_{-10}0\frac{1}{・・・

　私立 明治大学 2012年 第4問

次の空欄[ア]から[ク]に当てはまるものをそれぞれ答えよ．
放物線C1:y=\frac{x2}{8}+4と楕円C2:x2+\frac{y2}{4}=2を考える．
C1上の点(4a,2a2+4)での接線の方程式は
y=[ア]x-[イ]
である．C1上の点(4a,2a2+4)における接線が同時にC2の接線でもあるようなaの値は全部で4個ある．それらを小さい方から順にa1,a2,a3,a4とすれば，a1=[ウ],a2=[エ]である．C2の囲む図形・・・

　私立 金沢工業大学 2012年 第1問

座標平面上において，原点Oと点(6,0)からの距離の和が10である楕円を考える．
(1)この楕円の方程式は\frac{(x-[ア])2}{[イウ]}+\frac{y2}{[エオ]}=1である．
(2)この楕円とx軸，y軸との4個の交点を頂点とする四角形の面積は[カキ]である．

　私立 関西大学 2012年 第2問

aを実数の定数とし，曲線x2+4y2-2x-3=0をC1とし，円(x-a)2+y2=4をC2とする．次の[]をうめよ．
(1)曲線C1は楕円\frac{x2}{[①]}+\frac{y2}{[②]}=1をx軸方向に[③]だけ平行移動した楕円を表す．
(2)曲線C1と円C2が共有点をもつようなaの値の範囲は[④]である．
(3)a=0のとき，C1とC2の共有点は2点あり，そのうちy座標が正である点をPとする．点Pのx座標の値は\dis・・・

　私立 昭和大学 2012年 第3問

次の各問に答えよ．
(1)正の数a,bがa3+b3=5を満たすとき，a+bのとりうる値の範囲を求めよ．
(2)x＞0,x≠1のとき，1+\frac{1}{log2x}-\frac{3}{log3x}＜0を満たすxの範囲を求めよ．
(3)点Pが楕円x2+5(y-1)2=5上を動くとき，原点Oと点Pを結ぶ線分の長さの最大値を求めよ．
(4)A=(\begin{array}{cc}
3&-5\
2&-3
\end{array}),I=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})とする．(I+A)^{2012}=mI+・・・