タグ「極値」の検索結果
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a,bを実数として,3次関数f(x)=x3-ax2+3bx-10はx=1で極値をとるとする.
(1)a=\frac{[ア]}{[イ]}b+\frac{[ウ]}{[エ]}であり,b≠[オ]である.
(2)3次方程式x3-ax2+3bx-10=0が異なる3つの実数解をもつのは
b<-[カ],[キ]<b
のとき,すなわち
a<-\frac{[ク]}{[ケ]},[コ][サ]<a
のときである.
私立 福岡大学 2015年 第10問関数f(x)=log(1+\sqrt{2+x})-1/2\sqrt{2+x}について,次の問いに答えよ.ただし,対数は自然対数とする.
(1)関数y=f(x)の極値を求めよ.
(2)曲線y=f(x)および直線y=\frac{log3-1}{4}x+\frac{log3-1}{2}とで囲まれる部分の面積を求めよ.
公立 首都大学東京 2015年 第3問関数f(x),g(x)を
\begin{array}{l}
f(x)=x3-5x2\
g(x)=3^{3x}+3^{-3x}-5(3^{2x}+3^{-2x})+3(3x+3^{-x})\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}
で定めるとき,以下の問いに答えなさい.
(1)f(x)のすべての極値と極値を与えるxの値を求めなさい.
(2)t=3x+3^{-x}とするとき,g(x)をtの式で表しなさい.
(3)g(x)の最小値と最小値を与えるxの値を求めなさい.
公立 富山県立大学 2015年 第4問関数f(x)=\frac{1}{1+x2}について,次の問いに答えよ.
(1)y=f(x)の極値および変曲点を調べて,そのグラフの概形をかけ.
(2)α,βは定数で,-π/2<α<β<π/2とする.このとき,定積分∫_{tanα}^{tanβ}f(x)dxをα,βを用いて表せ.
(3)∫_{π/3}^{π/2}\frac{sint}{3+4cos2t}dtを求めよ.
国立 九州大学 2014年 第5問2以上の自然数nに対して,関数fn(x)を
fn(x)=(x-1)(2x-1)・・・(nx-1)
と定義する.k=1,2,・・・,n-1に対して,fn(x)が区間\frac{1}{k+1}<x<1/kでただ1つの極値をとることを証明せよ.
国立 静岡大学 2014年 第4問aを定数とする.2次関数f(x)は等式
f(x)=6(a+1)x2-12x∫01f(t)dt+5a-2
を満たすとする.このとき,2次関数f(x)と3次関数g(x)=-4x3+f(x)について,次の問いに答えよ.
(1)定積分∫01f(t)dtをaを用いて表せ.
(2)3次関数g(x)の増減を調べ,極値があればその極値を求めよ.
(3)3次方程式g(x)=0が異なる3つの実数解をもつとき,定数aの値の範囲を求めよ.
国立 神戸大学 2014年 第1問2次方程式x2-x-1=0の2つの解をα,βとし,
cn=αn+βn,n=1,2,3,・・・
とおく.以下の問に答えよ.
(1)nを2以上の自然数とするとき,
c_{n+1}=cn+c_{n-1}
となることを示せ.
(2)曲線y=c1x3-c3x2-c2x+c4の極値を求めよ.
(3)曲線y=c1x2-c3x+c2と,x軸で囲まれた図形の面積を求めよ.
国立 神戸大学 2014年 第1問aを実数とし,f(x)=xex-x2-axとする.曲線y=f(x)上の点(0,f(0))における接線の傾きを-1とする.このとき,以下の問に答えよ.
(1)aの値を求めよ.
(2)関数y=f(x)の極値を求めよ.
(3)bを実数とするとき,2つの曲線y=xexとy=x2+ax+bの-1≦x≦1の範囲での共有点の個数を調べよ.
国立 東北大学 2014年 第6問以下の問いに答えよ.
(1)nを自然数,aを正の定数として,
f(x)=(n+1){log(a+x)-log(n+1)}-n(loga-logn)-logx
とおく.x>0における関数f(x)の極値を求めよ.ただし,対数は自然対数とする.
(2)nが2以上の自然数のとき,次の不等式が成り立つことを示せ.
1/nΣ_{k=1}n\frac{k+1}{k}>(n+1)^{1/n}
国立 新潟大学 2014年 第4問関数f(x)=(-4x2+2)e^{-x2}について,次の問いに答えよ.
(1)f(x)の極値を求めよ.
(2)aをa≧0となる実数とし,I(a)=∫0ae^{-x2}dxとする.このとき,定積分∫0ax2e^{-x2}dxをa,I(a)を用いて表せ.
(3)曲線y=f(x),x軸,y軸および直線x=5で囲まれる部分の面積を求めよ.