「極限」について

　私立 津田塾大学 2010年 第4問

x≧0の範囲で関数y=√xe^{-x}のグラフをCとする．
(1)Cの概形を描け．ただし\lim_{x→∞}√xe^{-x}=0は証明せずに使ってよい．
(2)M＞0とする．曲線Cとx軸で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる立体のうち，x≦Mの部分の体積V(M)を求めよ．
(3)極限値\lim_{M→∞}V(M)を求めよ．

　公立 首都大学東京 2010年 第2問

長さ2の線分ABを直径とする半円周を点A=P0,P1,・・・,P_{n-1},Pn=Bでn等分する．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)三角形APkBの三辺の長さの和APk+PkB+BAをln(k)とおく．ln(k)を求めなさい．
(2)極限値α=\lim_{n→∞}\frac{ln(1)+ln(2)+・・・+ln(n)}{n}を求めなさい．

　公立 大阪府立大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)次の関係式を満たす数列{an}の一般項をそれぞれ求めよ．
\mon[(i)]a1=1/4,a_{n+1}=\frac{an}{3an+1}(n=1,2,3,・・・)
\mon[(ii)]a1=1,a_{n+1}=2an+3n(n=1,2,3,・・・)
(2)行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}\biggr)が
A2-97A+2010E=O
を満たすとき，a+d,ad-bcの値の組をすべて求めよ．ただし，E=\biggl(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1・・・

　公立 高知工科大学 2010年 第4問

rとθを-1＜r＜1,0≦θ＜2πを満たす定数とする．行列A=r(\begin{array}{rr}
cosθ&-sinθ\\
sinθ&cosθ
\end{array})，E=(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array})に対して，次の各問に答えよ．
(1)行列E-Aは逆行列を持つことを証明し，(E-A)^{-1}を求めよ．
(2)全ての自然数nについて
An=rn(\begin{array}{rr}
cosnθ&-sinnθ\\
sinnθ&cosnθ
\end{array})・・・

　公立 兵庫県立大学 2010年 第4問

数列{an},{bn}が
\begin{align}
&an=-1+log(1-\frac{1}{1+ne})\nonumber\\
&bn=log(n2-3n+3)-log(1+ne)\nonumber
\end{align}
で定められている．ここでlogは自然対数，eはその底である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)an≧bnを満たす自然数nをすべて求めよ．
(2)極限値\lim_{n→∞}(bn-logn)を求めよ．

　公立 横浜市立大学 2010年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)4次方程式
ax4+bx3+cx2+dx+e=0
を考える．ただし，a,b,c,d,eは定数で，a≠0とする．x=t+α（αは定数）とおいて，tに関する4次方程式
t4+Ct2+Dt+E=0
の形にする．このときD=0となる条件式をa,b,c,dを用いて表せ．
(2)Rを正の実数とする．極限値
\lim_{R→∞}∫1^{R2}\frac{e^{-√x}}{2}dx
を求めよ．
(3)地震のエネルギー(E)とマグニチュード(M)の間には
log_{10}E=4.8+1.5M
の関係が・・・

　公立 横浜市立大学 2010年 第3問

nは自然数とする．1以上の実数a,dと正の実数b,cを成分とする行列
A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})
に対し，n個の積Anを
An=(\begin{array}{cc}
an&bn\
cn&dn
\end{array}),A1=A
とおく．また，0＜v≦uをみたす実数u,vと正の実数\lambdaに対して，Aは等式
A(\begin{array}{c}
u\
v
\end{array})=\lambda(\begin{array}{c}
u\
v
\end{array})
をみたすとする．以下の問いに答えよ・・・