「正三角形」について

　国立 茨城大学 2010年 第3問

△ABCにおいて∠A,∠B,∠Cの大きさと対辺の長さをそれぞれA,B,Cおよびa,b,cで表す．△ABCの面積をSとし，3頂点を通る円の半径をRとする．a≧b≧cとするとき以下の各問に答えよ．
(1)sinA≧sinB≧sinCを示せ．
(2)S=2R2sinAsinBsinCを示せ．
(3)\frac{a2}{S},\frac{b2}{S},\frac{c2}{S}のそれぞれを\frac{cosA}{sinA},\frac{cosB}・・・

　国立 千葉大学 2010年 第7問

△ABCは，1辺の長さが1の正三角形で，tは正の実数とする．ベクトルb=ベクトルAB，ベクトルc=ベクトルACとおく．直線AB,AC上にそれぞれ点D,Eがあり，ベクトルAD=tベクトルb，ベクトルAE=tベクトルcをみたしている．正三角形△ADEの重心をG，線分BEの中点をMとする．
(1)内積ベクトルMC・ベクトルMGを計算せよ．
(2)tが正の実数全体を動くとき，△CGMの面積を最小にするtの値と，そのとき・・・

　国立 福岡教育大学 2010年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)恒等式1/2(x+y+z){(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2}=x3+y3+z3-3xyzが成り立つことを示せ．
(2)a≧0,b≧0,c≧0のとき，\frac{a+b+c}{3}≧\sqrt[3]{abc}が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのはa=b=cのときであることを示せ．
(3)一辺の長さがそれぞれa,b,cの三角形の面積は\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}で与えられることが知られている．ただし，s=\frac{a+b+c}{2}とする．三辺の長さの和が2s・・・

　私立 早稲田大学 2010年 第3問

1辺の長さが1（メートル）の正三角形の紙がある．この三角形の3頂点をA，B，Cとする．辺BC上の点Pと辺AB上の点Qを次のようにとる．
点Qを通るある直線を折り目としてこの紙を折り曲げるときに点Aは点Pに重なる．
ここで，BP=x（メートル），PQ=y（メートル）とおくとき，
x2-([テ]-y)x+[ト]-[ナ]y=0
が成り立つ．これをxについての方程式とみると，0≦x\l・・・

　私立 津田塾大学 2010年 第1問

次の問に答えよ．
(1)0≦x≦πとする．関数y=x-sin2xの最大値を求めよ．
(2)円周上を9等分する点をA1，A2，・・・，A9とする．このとき，これらの点を頂点とする正三角形は何個あるか．また，正三角形でない二等辺三角形は何個あるか．
(3)関数y=|\abs{x-1|-2}のグラフを描け．

　私立 北海道医療大学 2010年 第2問

1辺の長さが1の正三角形ABCにおいて，図のように辺BC上に点DをBD:DC=2:1となるようにとる．以下の問に答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)△ABCの面積を求めよ．
(2)△ABDの面積と△ADCの面積をそれぞれ求めよ．
(3)ADの長さを求めよ．
(4)∠BAD=θとおくとき，sinθとcosθの値を求めよ．
(5)△ABDの内接円の中心をO，半径をrとし，△\・・・

　公立 岐阜薬科大学 2010年 第2問

一辺の長さが1の正二十面体Wのすべての頂点が球Sの表面上にあるとき，次の問いに答えよ．なお，正二十面体は，すべての面が合同な正三角形であり，各頂点は5つの正三角形に共有されている．
(1)正二十面体の頂点の総数を求めよ．
(2)正二十面体Wの1つの頂点をA，頂点Aからの距離が1である5つの頂点をB，C，D，E，Fとする．sin36°=\frac{\sqrt{10-2√5}}{4}を用いて，正五角形BCDEFの外接円の半径Rと対・・・