「正方形」について

　私立 慶應義塾大学 2012年 第4問

ABCDEを1辺の長さが1の正方形ABCDを底面とし，4個の正三角形を側面とする正四角錐とする．
（プレビューでは図は省略します）
(1)△CDEの重心をGとする．ベクトルベクトルAGをベクトルAB,ベクトルAD,ベクトルAEで表すと，ベクトルAG=[セ]となる．
(2)ベクトル0でないベクトルベクトルpが平面α上の任意のベクトルと垂直なとき，ベクトルpは平面αと垂直であるという．ベクトルp=aベクトルAB+bベクトルAD+cベクトルAE(a,b,c\text{・・・

　私立 上智大学 2012年 第2問

1辺の長さが√2の正方形ABCDを底面とし，
PA=PB=PC=PD=√5
である四角錐PABCDを考える．
（プレビューでは図は省略します）
(1)四角錐PABCDのすべての面に接する球の中心をOとし，Pから底面ABCDに垂線PHを下ろすとき
PH=[テ],OH=\frac{[ト]}{[ナ]}
である．
(2)辺PBの中点をQ，辺PDの中点をRとする．3点Q，R，C・・・

　私立 北海学園大学 2012年 第2問

座標平面上に，5本の直線x=k(k=0,1,2,3,4)と，これらと垂直な10本の直線y=l(l=0,1,2,・・・,9)がある．これらの直線によってできる四角形のうちで，次の個数を求めよ．
(1)四角形
(2)正方形
(3)面積が4以上の四角形

　私立 北海学園大学 2012年 第3問

座標平面上に，5本の直線x=k(k=0,1,2,3,4)と，これらと垂直な10本の直線y=l(l=0,1,2,・・・,9)がある．これらの直線によってできる四角形のうちで，次の個数を求めよ．
(1)四角形
(2)正方形
(3)面積が4以上の四角形

　私立 南山大学 2012年 第1問

[]の中に答を入れよ．
(1)(1/9)x-4(1/3)^{x-1}+27≦0を満たすxの範囲は[ア]であり，\
log2(log5(x+1)+log5(x+3))＜1を満たすxの範囲は[イ]である．
(2)整式P(x)を(x+1)(x-2)で割ると余りは2x+9，(x+1)(x+2)で割ると余りは-10x-3になる．このときP(x)を(x+1)(x-2)(x+2)で割ると，余りは[ウ]となる．また，P(x)を(x-2)(x+2)で割ると，余りは[エ]となる．
\mon・・・

　私立 上智大学 2012年 第3問

大きさの同じN個の正方形を，図1のように左端からつめて高さを3段までに並べる．このとき，各段の正方形の数はその1つ下の段の正方形の数以下とする．例えば，N=4の場合，図2のように4通りの並べ方がある．
(1)上のような並べ方は，N=5のとき[ノ]通り，N=6のとき[ハ]通り，N=7のとき[ヒ]通りである．
(2)高さが2段までの並べ方は，
Nが偶数のとき，(\frac{[フ]}{[ヘ]}N+[ホ])通り，
\・・・

　私立 安田女子大学 2012年 第3問

1辺の長さが1の正方形の紙を用意し，頂点をA，B，C，Dとする．次の図のように，正方形の各辺を底辺とする高さxの4つの二等辺三角形△ABE，△BCF，△CDG，△DAHを正方形から切り取り，残りを図の4本の線分EF，FG，GH，HEにそって折り曲げて，点A，B，C，Dが1点になるように辺を合わせて四角錐を作るとする．ただし，0＜x＜1/2とする．こ・・・

　国立 弘前大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)0≦θ＜2πのとき，方程式
2sin2θ=tanθ+\frac{1}{cosθ}
を解け．
(2)正四面体ABCDにおいて，ベクトルAB=ベクトルb,ベクトルAC=ベクトルc,ベクトルAD=ベクトルdとし，辺AB，AC，CD，BDの中点をそれぞれP，Q，R，Sとする．このとき4点P，Q，R，Sは同一平面上にあることを示し，さらに四角形PQRSは正方形になることを示せ．

　国立 金沢大学 2011年 第3問

座標平面上にA(p,q)，B(-q,p)，C(-p,-q)，D(q,-p)を頂点とする正方形がある．ただし，p＞0,q＞0,p2+q2=1とする．また，直線AB，ADが直線x+y=1と交わる点をそれぞれE(r,s)，F(t,u)とする．次の問いに答えよ．
(1)直線AB，ADの方程式をp,qを用いて表せ．
(2)r,s,t,uをp,qを用いて表せ．
(3)k=p+qとおくとき，pqをkの式で表せ．また，k≦√2を示せ．
(4)st-ruをkの式で・・・

　国立 東京工業大学 2011年 第4問

平面上に一辺の長さが1の正方形DおよびDと交わる直線がある．この直線を軸にDを回転して得られる回転体について以下の問に答えよ．
(1)Dと同じ平面上の直線ℓはDのどの辺にも平行でないものとする．軸とする直線はℓと平行なものの中で考えるとき，回転体の体積を最大にする直線はDと唯1点で交わることを示せ．
(2)Dと交わる直線を軸としてできるすべての回転体の体積の中で最大となる値を求めよ．