「正方行列」について

　国立 富山大学 2014年 第3問

実数a,b,c(b≠0)に対して，次の問いに答えよ．
(1)2次方程式x2-(a+c)x+ac-b2=0は異なる2つの実数解をもつことを示せ．
(2)(1)の2つの実数解をα,β(α＜β)とする．xについての恒等式
(x+p)(x-α)-(x+q)(x-β)=1
が成り立つとき，定数p,qをα,βを用いて表せ．
(3)2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
b&c
\end{array})と(2)のα,pに対して，B=(A+pE)(A-αE)とおく．このとき，B2=B・・・

　国立 茨城大学 2014年 第2問

a,bを実数とし，2次の正方行列をA=(\begin{array}{cc}
a-1&b-1\
a2-1&b2-1
\end{array})とする．以下の各問に答えよ．
(1)行列Aが逆行列をもたないような実数a,bの条件を求めよ．
(2)1個のさいころを2回振って出た目の数を順にa,bとおく場合を考える．このとき，行列Aが逆行列をもたない確率を求めよ．ただし，さいころの1から6までの目の出方は，同様に確からしいものとする．

　国立 お茶の水女子大学 2014年 第1問

実数a,b,c,dに対して，2次正方行列A,Oを次で定める．
A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array}),O=(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})
(1)行列Aがad-bc=0を満たすとき，
A=(\begin{array}{c}
p\
q
\end{array})(\begin{array}{cc}
r&s
\end{array})
となるような実数p,q,r,sが存在することを示せ．
(2)ある2次正方行列X,Yに対してXA≠O，AY≠O，XAY=Oが成・・・

　国立 お茶の水女子大学 2014年 第1問

実数a,b,c,dに対して，2次正方行列A,Oを次で定める．
A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array}),O=(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})
(1)行列Aがad-bc=0を満たすとき，
A=(\begin{array}{c}
p\
q
\end{array})(\begin{array}{cc}
r&s
\end{array})
となるような実数p,q,r,sが存在することを示せ．
(2)ある2次正方行列X,Yに対してXA≠O，AY≠O，XAY=Oが成・・・

　国立 和歌山大学 2014年 第5問

次の条件を満たす2次正方行列A,Bがある．
A2=E,B2=-E,AB+BA=O
ただし，Eは単位行列，Oは零行列である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)次の(i)，(ii)，(iii)が成り立つことを示せ．
(i)(A+B+AB)2=E\qquad(ii)A+B≠O\qquad(iii)AB≠E
(2)(A+B)C=Oとなる零行列でない2次正方行列Cが存在することを示せ．

　国立 愛媛大学 2014年 第4問

E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})，O=(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})とし，tは実数とする．Aは，A3=Eを満たす2次の正方行列とする．
(1)(A-tE)(A2+tA+t2E)をtとEを用いて表せ．
(2)t≠1のときA-tEは逆行列をもつことを示せ．
(3)次の3つの命題を証明せよ．
(i)A=Eならば，A2+A+E≠Oである．
(ii)A2+A+E≠Oならば，A-Eは逆行列をもたない．
\mon[・・・

　国立 愛媛大学 2014年 第5問

E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})，O=(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})とし，tは実数とする．Aは，A3=Eを満たす2次の正方行列とする．
(1)(A-tE)(A2+tA+t2E)をtとEを用いて表せ．
(2)t≠1のときA-tEは逆行列をもつことを示せ．
(3)次の3つの命題を証明せよ．
(i)A=Eならば，A2+A+E≠Oである．
(ii)A2+A+E≠Oならば，A-Eは逆行列をもたない．
\mon[・・・

　私立 東京理科大学 2014年 第1問

A,Bは共に実数を成分とする2次の正方行列で，条件
AB=(\begin{array}{cc}
4&-1\
-6&3
\end{array}),A^{-1}B=(\begin{array}{cc}
-1/6&1/3\
-2/3&1/3\phantom{\frac{[]}{2}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\end{array})
を満たすものとする．
(1)B^{-1}A=(\begin{array}{cc}
\mkakko{ア}&-\mkakko{イ}\
\mkakko{ウ}&-\mkak・・・

　公立 首都大学東京 2014年 第2問

2次正方行列M=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})についての条件
(*)a=d　かつ　b=-c
を考える．(*)を満たすMに対して，実数f(M)をf(M)=\sqrt{a2+b2}と定める．以下の問いに答えなさい．
(1)2次正方行列A,Bがともに(*)を満たすならば，積ABも(*)を満たすことを証明しなさい．
(2)2次正方行列A,Bがともに(*)を満たすならば，f(AB)=f(A)f(B)が成り立つことを証明しなさい．
(3)A=16(\begin{array}{cc}・・・

　公立 大阪府立大学 2014年 第3問

a,bを定数とし，2次の正方行列A,X,Yは
A=aX+bY,X+Y=E,XY=O
をみたすとする．ここで，EとOはそれぞれ2次の単位行列と零行列を表す．このとき，X+Y=Eの両辺に左からXを掛けるとX2=Xが成り立つことがわかる．
(1)Y2=Y,YX=Oが成り立つことを示せ．
(2)AがEの定数倍ではないとき，A-aEとA-bEはともに逆行列をもたないことを示せ．
(3)A=(\begin{array}{cc}
-1&2\
6&3
\end{array})のとき，a,b(a＜b)およびX,Yを求めよ．
\end{・・・