「正方行列」について

　国立 徳島大学 2012年 第3問

2次の正方行列Aで表される1次変換をfとする．Oを原点とする座標平面上に，異なる2点P(x1,y1)，Q(x2,y2)があって，次の2つの条件を満たす．
条件1：1次変換fにより，点Pは点(-2x2,-2y2)に移る．
条件2：合成変換f\circfにより，点Qは点(4x1,4y1)に移る．

(1)行列A3で表される1次変換により，点Pは点(-8x1,-8y1)に，点Qは点(-8x2,-8y2)に移ることを示せ．
(2)3点O，P，Qは同一直線上にないことを示し，x1y2-x2y1\・・・

　国立 島根大学 2012年 第4問

原点を中心とする半径1の円上の異なる3点P0(1,0)，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)をy1＞0かつ△P0P1P2が正三角形になるようにとる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)P1の座標(x1,y1)とP2の座標(x2,y2)を求めよ．
(2)A(\begin{array}{c}
1\
0
\end{array})=(\begin{array}{c}
1\
0
\end{array})とA(\begin{array}{c}
x1\
y1
\end{array})=(\begin{array}{c}
x2\
y2
\end{array})を・・・

　国立 島根大学 2012年 第3問

原点を中心とする半径1の円上の異なる3点P0(1,0)，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)をy1＞0かつ△P0P1P2が正三角形になるようにとる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)P1の座標(x1,y1)とP2の座標(x2,y2)を求めよ．
(2)A(\begin{array}{c}
1\
0
\end{array})=(\begin{array}{c}
1\
0
\end{array})とA(\begin{array}{c}
x1\
y1
\end{array})=(\begin{array}{c}
x2\
y2
\end{array})を・・・

　国立 山形大学 2012年 第4問

2次正方行列
A=(\begin{array}{cc}
\frac{1+3√3}{2}&-√3\
\frac{5√3}{2}&\frac{1-3√3}{2}
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
1&1\\
2&1
\end{array})
について，次の問に答えよ．
(1)A,Bは逆行列をもつことを示し，A^{-1},B^{-1}を求めよ．
(2)B^{-1}A^{-1}B,(B^{-1}A^{-1}B)3を求めよ．
(3)A7BX=Bをみたす2次正方行列Xを求めよ．
(4)(3)の行列Xについて
E・・・

　国立 山形大学 2012年 第4問

2次正方行列
A=(\begin{array}{cc}
\frac{1+3√3}{2}&-√3\
\frac{5√3}{2}&\frac{1-3√3}{2}
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
1&1\\
2&1
\end{array})
について，次の問に答えよ．
(1)A,Bは逆行列をもつことを示し，A^{-1},B^{-1}を求めよ．
(2)B^{-1}A^{-1}B,(B^{-1}A^{-1}B)3を求めよ．
(3)A7BX=Bをみたす2次正方行列Xを求めよ．
(4)(3)の行列Xについて
E+X5+X・・・

　国立 電気通信大学 2012年 第4問

次の条件をみたす2次正方行列A,Bを考える．
AB=-E,A-B=E(E　は単位行列　)
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)A2-Aを求めよ．
(2)A3を求めよ．
(3)An=Eとなる最小の正の整数nを求めよ．
(4)A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})とするとき，a+d,ad-bcの値をそれぞれ求めよ．ただし，a,b,c,dは実数とする．
(5)A(\begin{array}{c}
1\
0
\end{array})=(\begin{array}{c}
3\
1
\end{array}・・・

　国立 福岡教育大学 2012年 第3問

a,bを実数とし，
S=(\begin{array}{cc}
a&0\
0&b
\end{array}),O=(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})
とする．2次正方行列NがN2=O,SN=NSをみたすとき，次の問いに答えよ．
(1)a=bまたはN=Oであることを示せ．
(2)nは2以上の自然数とする．このとき，
(S+N)n=Sn+nS^{n-1}N
が成り立つことを示せ．
(3)nは2以上の自然数とする．このとき，
(S+SN+N)n=Sn+nSnN+nS^{n-1}N
が成り立つことを示せ．
(4)N=・・・

　私立 立教大学 2012年 第1問

3つの2次正方行列
A=(
\begin{array}{cc}
1&0\\
a&1
\end{array}
),B=(
\begin{array}{cc}
x&y\\
0&z
\end{array}
),C=(
\begin{array}{cc}
-1&2\\
-2&3
\end{array}
)
があり，AB=CAが成立している．このとき，次の問(1)～(4)に答えよ．
(1)a,x,y,zの値を求めよ．
(2)(1)で求めたaの値を用いて，A^{-1}を求めよ．
(3)(1)で求めたx,y,zの値を用いて，自然数nに対し，Bnを求めよ．
(4)自然数nに対し，Cnを求・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)実数θに対し，O(0,0,0)を原点とする座標をもつ空間において，3点
P(cosθ,sinθ,0),Q(0,cosθ,sinθ),R(0,cos2θ,sin2θ)
を考える．
(i)θが-π≦θ＜πの範囲を動くとき，PQ2の最大値は[ア]であり，最大値を与えるθの値は-\frac{[イ]}{[ウ]}πと\frac{\ka・・・

　公立 大阪市立大学 2012年 第4問

|a2-2b2|=1をみたす整数a,bによって，(\begin{array}{cc}
a&2b\\
b&a
\end{array})と表される2次の正方行列全体の集合をUとする．このとき，Uに属する行列A=(\begin{array}{cc}
a&2b\\
b&a
\end{array})に対して，f(A)=a+√2bとおく．次の問いに答えよ．
(1)二つの行列AとBがUに属するならば，積ABもUに属することを示し，さらにf(AB)=f(A)f(B)が成り立つことを示せ．
(2)Uに属する行列A=(\begin{array}{cc}
a&2b\\
b&a
・・・