「無理数」について

　公立 大阪府立大学 2012年 第2問

関数f(x)=\frac{2x-1}{2x+1}について，以下の問いに答えよ．
(1)f\biggl(1/2\biggr)を求めよ．
(2)f(2x)=\frac{2f(x)}{1+f(x)2}を示せ．
(3)すべての自然数nに対してbn=f\biggl(\frac{1}{2n}\biggr)は無理数であることを，数学的帰納法を用いて示せ．ただし，有理数r,sを用いて表される実数r+s√2はs≠0ならば無理数であることを，証明なく用いてもよい．

　国立 神戸大学 2011年 第4問

aは正の無理数で，a3+3a2-14a+6,Y=a2-2aを考えると，XとYはともに有理数である．以下の問に答えよ．
(1)整式x3+3x2-14x+6を整式x2-2xで割ったときの商と余りを求めよ．
(2)XとYの値を求めよ．
(3)aの値を求めよ．ただし，素数の平方根は無理数であることを用いてよい．

　国立 福岡教育大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)Nは自然数でN^{10}が16桁であるとする．このとき，N8は何桁になるか求めよ．
(2)αが無理数であり，a,bが有理数であるとき，
a+bα=0　ならば　a=b=0
であることを証明せよ．
(3)a,b,c,x,y,zを実数とする．
(i)(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≧(ax+by+cz)2が成り立つことを示せ．
(ii)x+y+z=1のとき，x2+y2+z2の最小値を求めよ．

　国立 高知大学 2011年 第4問

nを自然数とし，θをcosθ=-1/3であるような実数とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)cos(n+1)x=2cosnxcosx-cos(n-1)xが成り立つことを示せ．
(2)cosnθは\frac{m}{3n}という形の分数で表されることを示せ．ただし，mは整数で|m|は3を約数にもたない．
(3)(2)を用いてθ/πは無理数であることを示せ．

　国立 鳴門教育大学 2011年 第4問

a,bを実数とするとき，次のことを示せ．
(1)a,bの少なくとも1つが無理数であるための必要十分条件は，a+b，a-bの少なくとも1つが無理数となることである．
(2)a+b,abがともに有理数であることは，a,bがともに有理数であるための必要条件であるが，十分条件ではない．
(3)a+b,ab,a3-b3がすべて有理数であれば，a,bはともに有理数である．

　私立 早稲田大学 2011年 第2問

次の問に答えよ．
(1)a,bは整数で，2次方程式
x2+ax+b=0\dotnum{A}
が異なる2つの実数解α,βをもつとする．このとき，α,βはともに整数であるか，ともに無理数であるかのいずれかであることを証明する．以下の問に答え，証明を完成させよ．\\
まず，b=0のときは，x2+ax=0であるから\maru{A}は整数解0,-aをもつ．以下ではb≠0とする．\\
解と係数の関係より，α+β=-a,αβ=bであり，これらは整数である．有理数と無理数・・・

　私立 早稲田大学 2011年 第1問

[ア]～[エ]にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)関数
f(x)=∫01|t2-x2|dt
の最小値は[ア]である．
(2)nを正の整数とする．10nの正の約数すべての積は[イ]である．
(3)log3nが無理数となる2011以下の正の整数nは，全部で[ウ]個ある．
(4)関数f(x)は，次の2つの条件を満たしている．
(5)すべての実数xに対して，f(3+x)=f(3-x)
\monxの値が，異なる5つの実数a1,a2,a3,a4,a5のときに限・・・

　公立 富山県立大学 2011年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)nは0または正の整数とする．\comb{n}{0}+3・\comb{n}{1}+32・\comb{n}{2}+・・・+3n・\comb{n}{n}=4nを示せ．
(2)3次方程式x3-x2+2x-1=0の実数解は無理数であることを，背理法を用いて示せ．

　国立 三重大学 2010年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)p,q,r,sを整数とする．このときp+q√2=r+s√2が成り立つならば，p=rかつq=sとなることを示せ．ここで√2が無理数であることは使ってよい．
(2)自然数nに対し，(3+2√2)n=an+bn√2を満たす整数an,bnが存在することを数学的帰納法により示せ．
(3)an,bnを(2)のものとする．このときすべての自然数nについて(x,y)=(an,bn)は方程式x2-2y2=1の解であることを数学的帰納法により示せ．

　国立 三重大学 2010年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)p,q,r,sを整数とする．このときp+q√2=r+s√2が成り立つならば，p=rかつq=sとなることを示せ．ここで√2が無理数であることは使ってよい．
(2)自然数nに対し，(3+2√2)n=an+bn√2を満たす整数an,bnが存在することを数学的帰納法により示せ．
(3)an,bnを(2)のものとする．このときすべての自然数nについて(x,y)=(an,bn)は方程式x2-2y2=1の解であることを数学的帰納法により示せ．