「球面」について

　国立 京都大学 2015年 第4問

xyz空間の中で，(0,0,1)を中心とする半径1の球面Sを考える．点Qが(0,0,2)以外のS上の点を動くとき，点Qと点P(1,0,2)の2点を通る直線ℓと平面z=0との交点をRとおく．Rの動く範囲を求め，図示せよ．

　国立 岡山大学 2015年 第2問

座標空間内に3点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)をとり，2つのベクトルベクトルAPとベクトルBP+ベクトルCPの内積が0になるような点P(x,y,z)の集合をSとする．3点A，B，Cを通る平面をαとするとき，次の問いに答えよ．
(1)集合Sは球面であることを示し，その中心Qの座標と半径rの値を求めよ．
(2)原点Oから最も遠い距離にあるS上の点の座標を求めよ．
(3)(1)で求めた点Qは，平面α上に・・・

　国立 山梨大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)log_{10}2=0.3010とする．2^{2015}の桁数を求めよ．
(2)座標空間において，点(a,0,-1)を中心とする半径3の球面が，yz平面と交わってできる円の半径が2のとき，aの値を求めよ．
(3)y=-3x3+9x-1の極小値を求めよ．
(4)y=2sin(θ+π/3)のグラフをかけ．ただし，0≦θ≦2πとする．

　私立 上智大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)数列{an}の第1項から第n項までの和Snが3Sn=an+2n-1を満たすならば，
an=\frac{[ア]}{[イ]}(\frac{[ウ]}{[エ]})n+\frac{[オ]}{[カ]}
である．
(2)tを実数とする．座標空間において，点(2t,1,-t)を通りベクトル(-1,2,1)と平行な直線をℓとする．点Pの座標を(0,2,0)とする．
(i)点Pからℓに垂線PHを下ろすとき，
PH2=\・・・

　公立 首都大学東京 2015年 第2問

座標空間に3点O(0,0,0)，A(0,2,2)，B(3,-1,2)がある．三角形OABの周上または内部の点PはAP=√2，ベクトルOP⊥ベクトルAPを満たしているとする．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)点Pの座標を求めなさい．
(2)三角形OBPの面積を求めなさい．
(3)点Qが点Aを中心とする半径√2の球面上を動くとき，点Bから直線OQに引いた垂線の長さの最小値を求めなさい．

　国立 金沢大学 2014年 第1問

aを実数とする．このとき，座標空間内の球面S:x2+y2+z2=1と直線ℓ:(x,y,z)=(2,-1,0)+t(-1,a,a)について，次の問いに答えよ．
(1)Sとℓが異なる2点で交わるようなaの値の範囲を求めよ．
(2)aの値が(1)で求めた範囲にあるとき，Sとℓの2つの交点の間の距離dをaを用いて表せ．
(3)(2)のdが最大となるような実数aの値とそのときのdを求めよ．

　国立 大分大学 2014年 第2問

原点Oを中心とする半径2√2の球面S上に3点A，B，Cがあり，
ベクトルOA・ベクトルOB=4,ベクトルOB・ベクトルOC=5,ベクトルOC・ベクトルOA=6
をみたしている．三角形ABCの重心をGとし，直線OGと球面Sの交点のうちGから遠い方をPとする．
(1)|ベクトルOA|，|ベクトルOG|の値を求めなさい．
(2)ベクトルOPをベクトルOA，ベクトルOB，ベクトルOCを用いて表しなさい．
(3)ベクトルOAとベクトルOP・・・

　国立 大分大学 2014年 第3問

原点Oを中心とする半径2√2の球面S上に3点A，B，Cがあり，
ベクトルOA・ベクトルOB=4,ベクトルOB・ベクトルOC=5,ベクトルOC・ベクトルOA=6
をみたしている．三角形ABCの重心をGとし，直線OGと球面Sの交点のうちGから遠い方をPとする．
(1)|ベクトルOA|，|ベクトルOG|の値を求めなさい．
(2)ベクトルOPをベクトルOA，ベクトルOB，ベクトルOCを用いて表しなさい．
(3)ベクトルOAとベクトルOP・・・

　国立 大分大学 2014年 第2問

原点Oを中心とする半径2√2の球面S上に3点A，B，Cがあり，
ベクトルOA・ベクトルOB=4,ベクトルOB・ベクトルOC=5,ベクトルOC・ベクトルOA=6
をみたしている．三角形ABCの重心をGとし，直線OGと球面Sの交点のうちGから遠い方をPとする．
(1)|ベクトルOA|，|ベクトルOG|の値を求めなさい．
(2)ベクトルOPをベクトルOA，ベクトルOB，ベクトルOCを用いて表しなさい．
(3)ベクトルOAとベクトルOP・・・

　国立 東京農工大学 2014年 第1問

r,sは実数で，r＞0とする．Oを原点とする座標空間に4点A(2,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，D(r,r,r)がある．さらに，点Eを，ベクトルベクトルOEが
ベクトルOE=ベクトルOA+s(ベクトルAB+ベクトルAC)
で定まる点とする．次の問いに答えよ．
(1)O，A，B，Cを通る球面の中心をFとする．ベクトルODとベクトルOFのなす角をθとするとき，cosθの値を求めよ．
(2)ベクトルDE・ベクトルAB=0・・・