「確率」について

　国立 広島大学 2015年 第5問

nを自然数とする．A，B，C，D，Eの5人が1個のボールをパスし続ける．最初にAがボールを持っていて，Aは自分以外の誰かに同じ確率でボールをパスし，ボールを受けた人は，また自分以外の誰かに同じ確率でボールをパスし，以後同様にパスを続ける．n回パスしたとき，Bがボールを持っている確率をpnとする．ここで，たとえば，A→C→D→A→Eの順にボールをパスすれば，4回パスしたと考える．次の問いに答えよ．
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　国立 岡山大学 2015年 第1問

nを2以上の自然数とし，1からnまでの自然数kに対して，番号kをつけたカードをそれぞれk枚用意する．これらすべてを箱に入れ，箱の中から2枚のカードを同時に引くとき，次の問いに答えよ．
(1)用意したカードは全部で何枚か答えよ．
(2)引いたカード2枚の番号が両方ともkである確率をnとkの式で表せ．
(3)引いたカード2枚の番号が一致する確率をnの式で表せ．
(4)引いたカード2枚の番号が異なっている確率をpnとする．不等式pn≧0.9を満たす最小の自然数nの値を求めよ．
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　国立 岡山大学 2015年 第1問

nを2以上の自然数とし，1からnまでの自然数kに対して，番号kをつけたカードをそれぞれk枚用意する．これらすべてを箱に入れ，箱の中から2枚のカードを同時に引くとき，次の問いに答えよ．
(1)用意したカードは全部で何枚か答えよ．
(2)引いたカード2枚の番号が両方ともkである確率をnとkの式で表せ．
(3)引いたカード2枚の番号が一致する確率をnの式で表せ．
(4)引いたカード2枚の番号が連続している確率（すなわち，2つの番号の差の絶対値が1である確率）をnの式で表せ．
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　国立 東北大学 2015年 第3問

サイコロを3回投げて出た目の数を順にp1，p2，p3とし，xの2次方程式
2p1x2+p2x+2p3=0・・・・・・(*)
を考える．
(1)方程式(*)が実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式(*)が実数でない2つの複素数解α,βをもち，かつαβ=1が成り立つ確率を求めよ．
(3)方程式(*)が実数でない2つの複素数解α,βをもち，かつαβ＜1が成り立つ確率を求めよ．

　国立 東北大学 2015年 第3問

サイコロを3回投げて出た目の数を順にp1，p2，p3とし，xの2次方程式
2p1x2+p2x+2p3=0・・・・・・(*)
を考える．
(1)方程式(*)が実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式(*)が実数でない2つの複素数解α,βをもち，かつαβ=1が成り立つ確率を求めよ．

　国立 九州大学 2015年 第3問

袋の中に最初に赤玉2個と青玉1個が入っている．次の操作を考える．
（操作）袋から1個の玉を取り出し，それが赤玉ならば代わりに青玉1個を袋に入れ，青玉ならば代わりに赤玉1個を袋に入れる．袋に入っている3個の玉がすべて青玉になるとき，硬貨を1枚もらう．
この操作を4回繰り返す．もらう硬貨の総数が1枚である確率と，もらう硬貨の総数が2枚である確率をそれぞれ求めよ．

　国立 横浜国立大学 2015年 第1問

大小2つのさいころを投げ，大きいさいころの出た目をa，小さいさいころの出た目をbとする．a,bに対し，xy平面上の曲線y=x3-axをCとし，Cをx軸の正の方向にbだけ平行移動した曲線をDとする．次の問いに答えよ．
(1)CとDが異なる2点で交わる確率を求めよ．
(2)CとDが異なる2点で交わり，かつ，その2点を通る直線の傾きが正である確率を求めよ．

　国立 横浜国立大学 2015年 第5問

1個のさいころを3回続けて投げ，出た目を順にa,b,cとする．不等式
∫0^π(cosax)(cosbx)(coscx)dx＞0
をみたす確率を求めよ．

　国立 静岡大学 2015年 第2問

1つのコマと下の図のような3つのマス目A，B，Cがある．コマがAまたはBにあるとき，さいころを投げて出た目の数だけCの方向にコマを進める．ただし，コマが途中でCやAに来たら，逆の方向に折り返して進める．これを1回の操作とする．AまたはBで止まった場合はその止まったマス目から操作を繰り返し，Cに止まった場合は操作を終了する．例えば，Aにコマがあり3の目が出たらA→B→C→Bとコマを進め・・・

　国立 静岡大学 2015年 第4問

1つのコマと下の図のような3つのマス目A，B，Cがある．コマがAまたはBにあるとき，さいころを投げて出た目の数だけCの方向にコマを進める．ただし，コマが途中でCやAに来たら，逆の方向に折り返して進める．これを1回の操作とする．AまたはBで止まった場合はその止まったマス目から操作を繰り返し，Cに止まった場合は操作を終了する．例えば，Aにコマがあり3の目が出たらA→B→C→Bとコマを進め・・・