「確率」について

　国立 熊本大学 2011年 第1問

1個のさいころを2回続けて投げるとき，1回目に出る目の数をa，2回目に出る目の数をbとする．これらのa,bに対して，実数を要素とする集合P,Qを次のように定める．
\begin{align}
&P={x\;|\;x2+ax+b＞0}\nonumber\\
&Q={x\;|\;5x+a≧0}\nonumber
\end{align}
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)Pが実数全体の集合となる確率を求めよ．
(2)Q\subsetPとなる確率を求めよ．

　国立 宮崎大学 2011年 第2問

100点と書かれたカードが4枚，10点と書かれたカードが2枚入った1つの袋の中から1枚ずつカードを取り出す．取り出したカードは袋の中にもどさないものとする．10点のカードが初めて取り出されたとき，このカードも含めて取り出されたカードの合計枚数をkとする．このk枚のカードの合計点をSとする．ただし，どのカードも取り出される確率は等しいものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)k=1,2,3,4,5となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)Sの期待値を求めよ．

　国立 大阪教育大学 2011年 第4問

次のようなゲームを考える．成功の確率がp(0＜p＜1)，失敗の確率がq(=1-p)であるような試行をAとBの2人が行い，先に成功した方を勝ちとする．なお，Aが勝つ確率がBが勝つ確率より大きいとき，ゲームはAに有利であるといい，Aが勝つ確率とBが勝つ確率が等しいとき，ゲームは公平であるという．このとき，次の問に答えよ．
(1)Aから始めて，以後交互に試行を行う．すなわち，ABABAB・・・という順で試行を行う．このとき，pの値にかかわらずゲームはAに有利であることを示せ．
(2)Aから始めるが，Aが1回に対し・・・

　国立 宮崎大学 2011年 第3問

100点と書かれたカード，50点と書かれたカード，10点と書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ入った1つの袋の中から1枚ずつカードを取り出す．取り出したカードは袋の中にもどさないものとする．10点のカードが初めて取り出されたとき，このカードも含めて取り出されたカードの合計枚数をkとする．このk枚のカードの合計点をSとする．ただし，どのカードも取り出される確率は等しいものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)k=1,2,3,4,5となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)Sの期待値を求めよ．
\end・・・

　国立 宮崎大学 2011年 第3問

100点と書かれたカード，50点と書かれたカード，10点と書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ入った1つの袋の中から1枚ずつカードを取り出す．取り出したカードは袋の中にもどさないものとする．10点のカードが初めて取り出されたとき，このカードも含めて取り出されたカードの合計枚数をkとする．このk枚のカードの合計点をSとする．ただし，どのカードも取り出される確率は等しいものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)k=1,2,3,4,5となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)Sの期待値を求めよ．
\end・・・

　国立 山形大学 2011年 第4問

次の問に答えよ．
(1)自然数p,qを自然数mで割ったときの余りをそれぞれr,sとする．このとき，pq-rsはmの倍数であることを示せ．
(2)nが自然数のとき，3nを4で割ったときの余りを求めよ．
(3)nを自然数とし，rを実数とするとき，二項展開を利用して
Σ_{k=1}n{}_{2n}　C　_{2k-1}・r^{2k-1}
を求めよ．
(4)サイコロを2n回振り，出た目をすべて掛け合わせた数をXnとする．使用するサイコロの目は1，2，3，4，5，6であり，どの目の出る確率も1/6・・・

　国立 鹿児島大学 2011年 第7問

大小2個のさいころを同時に投げる試行を考える．この試行で，大きいさいころの出た目をX，小さいさいころの出た目をYとする．T=2X-Yとするとき，次の各問いに答えよ．
(1)確率P(T=6)，P(T≧0)を求めよ．
(2)分散V(X)，平均E(T)を求めよ．
(3)V(aT)=25となる定数aの値を求めよ．

　国立 鹿児島大学 2011年 第8問

次の各問いに答えよ．
(1)確率変数Xは0以上3以下の値をとり，その確率密度関数f(x)は次で与えられているとする．このとき，定数k，平均E(X)を求めよ．
f(x)={
\begin{array}{cl}
1/2&(0≦x＜1　のとき　)\\
-1/4x+k&(1≦x≦3　のとき　)
\end{array}
.
(2)Zを標準正規分布N(0,1)に従う確率変数とする．また，任意のx(x≧0)に対して，関数g(x)をg(x)=P(0≦Z≦x)とおく．このとき，次・・・

　国立 長岡技術科学大学 2011年 第4問

A，Bの2種類のカードがある．Aを2枚，Bを3枚それぞれ積み重ね，3人の人が順番に1枚のカードを次のように持ち帰ることにする．A，B両方のカードが残っているときはAかBかを確率1/2で選んで1枚持ち帰る．また，どちらか一方のカードしか残っていないときはそれを1枚持ち帰る．このようにすると最後に2枚のカードが残る．これについて次の問いに答えなさい．
(1)Aのカードが2枚残る確率を求めなさい．
\m・・・

　国立 京都教育大学 2011年 第2問

赤玉が5個，白玉が4個，青玉が3個入っている袋がある．この袋から玉を3個同時に取り出すとき，次の確率を求めよ．
(1)3個とも同じ色である．
(2)3個の色がすべて異なる．