「示せ」について

　国立 大阪大学 2015年 第1問

実数x,yが|x|≦1と|y|≦1を満たすとき，不等式
0≦x2+y2-2x2y2+2xy\sqrt{1-x2}\sqrt{1-y2}≦1
が成り立つことを示せ．

　国立 北海道大学 2015年 第5問

nは自然数，aはa＞3/2をみたす実数とし，実数xの関数
f(x)=∫0x(x-θ)(asin^{n+1}θ-sin^{n-1}θ)dθ
を考える．ただし，n=1のときはsin^{n-1}θ=1とする．
(1)∫0^{π/2}sin^{n+1}θdθ=\frac{n}{n+1}∫0^{π/2}sin^{n-1}θdθを示せ．
(2)f´(π/2)=0をみたすnとaの値を求めよ．
(3)(2)で求めたn・・・

　国立 一橋大学 2015年 第1問

nを2以上の整数とする．n以下の正の整数のうち，nとの最大公約数が1となるものの個数をE(n)で表す．たとえば
E(2)=1,E(3)=2,E(4)=2,・・・,E(10)=4,・・・
である．
(1)E(1024)を求めよ．
(2)E(2015)を求めよ．
(3)mを正の整数とし，pとqを異なる素数とする．n=pmqmのとき\frac{E(n)}{n}≧1/3が成り立つことを示せ．

　国立 九州大学 2015年 第1問

C1，C2をそれぞれ次式で与えられる放物線の一部分とする．
C1:y=-x2+2x,0≦x≦2
C2:y=-x2-2x,-2≦x≦0
また，aを実数とし，直線y=a(x+4)をℓとする．
(1)直線ℓとC1が異なる2つの共有点をもつためのaの値の範囲を求めよ．
以下，aが(1)の条件を満たすとする．このとき，ℓとC1で囲まれた領域の面積をS1，x軸とC2で囲まれた領域でℓの下側にある部分の面積をS2とする・・・

　国立 九州大学 2015年 第2問

以下の問いに答えよ．
(1)関数y=\frac{1}{x(logx)2}はx＞1において単調に減少することを示せ．
(2)不定積分∫\frac{1}{x(logx)2}dxを求めよ．
(3)nを3以上の整数とするとき，不等式
Σ_{k=3}n\frac{1}{k(logk)2}＜\frac{1}{log2}
が成り立つことを示せ．

　国立 九州大学 2015年 第4問

袋の中に最初に赤玉2個と青玉1個が入っている．次の操作を繰り返し行う．
（操作）袋から1個の玉を取り出し，それが赤玉ならば代わりに青玉1個を袋に入れ，青玉ならば代わりに赤玉1個を袋に入れる．袋に入っている3個の玉がすべて青玉になるとき，硬貨を1枚もらう．
(1)2回目の操作で硬貨をもらう確率を求めよ．
(2)奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示せ．
(3)8回目の操作ではじめて硬貨をもらう確率を求めよ．
(4)8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚・・・

　国立 広島大学 2015年 第3問

座標空間内に5点
O(0,0,0),A(0,0,3/4),B(1/2,0,1/2),C(s,t,0),D(0,u,0)
がある．ただし，s,t,uは実数で，s＞0，t＞0，s+t=1を満たすとする．3点A，B，Cの定める平面がy軸と点Dで交わっているとき，次の問いに答えよ．
(1)直線ABとx軸との交点のx座標を求めよ．
(2)uをtを用いて表せ．また，0＜u＜1であることを示・・・

　国立 旭川医科大学 2015年 第2問

nを正の整数とする．2nπ≦x≦(2n+1)πの範囲で関数f(x)=xsinxを考える．関数f(x)が極大値をとるxをanとし，曲線y=f(x)の変曲点を(bn,f(bn))とする．次の問いに答えよ．
(1)anとbnはそれぞれ唯1つあって，2nπ＜bn＜2nπ+π/2＜an＜(2n+1)πを満たすことを示せ．
(2)以下の極限を求めよ．
(1)\lim_{n→∞}(an-2nπ)\qquad(2)\lim_{n→∞}(bn-2nπ)\qquad(3)\lim_{n→∞}f(bn)
(3)曲線y=f・・・

　国立 金沢大学 2015年 第1問

四面体OABCにおいて，3つのベクトルベクトルOA，ベクトルOB，ベクトルOCはどの2つも互いに垂直であり，h＞0に対して，
|ベクトルOA|=1,|ベクトルOB|=2,|ベクトルOC|=h
とする．3点O，A，Bを通る平面上の点Pは，ベクトルCPがベクトルCAとベクトルCBのどちらとも垂直となる点であるとする．次の問いに答えよ．
(1)ベクトルOP=αベクトルOA+βベクトルOBとするとき，αとβをhを用いて表せ．
(2)直線OPと直線AB・・・

　国立 金沢大学 2015年 第3問

関数y=log3xとその逆関数y=3xのグラフが，直線y=-x+sと交わる点をそれぞれP(t,log3t)，Q(u,3u)とする．次の問いに答えよ．
(1)線分PQの中点の座標は(s/2,s/2)であることを示せ．
(2)s,t,uはs=t+u，u=log3tを満たすことを示せ．
(3)\lim_{t→3}\frac{su-k}{t-3}が有限な値となるように，定数kの値を定め，その極限値を求めよ．