「示せ」について

　国立 高知大学 2015年 第4問

0≦t＜2πとする．関数f(x)=2x2+(2+sint)x+cos2t-2について，次の問いに答えよ．
(1)t=π/2のとき，y=f(x)の最小値を求めよ．
(2)tがどのような値であっても，y=f(x)のグラフはx軸と異なる2つの共有点を持つことを示せ．
(3)y=f(x)のグラフが，x軸から切り取る線分の長さの最小値を求めよ．
(4)(3)のとき，y=f(x)のグラフとx軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ．

　国立 高知大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)|x+1|＜1/2,|y-2|＜1/3のとき
|-8x3+12xy+3y2+4|＜10
を示せ．
次の3題(2)～(4)から1題選択して解答せよ．
(2)12個のサイコロを同時に投げたとき，1の目がちょうどn個出る確率をPnとする．Pnはn=2のとき最大になることを示せ．
(3)aを正の整数とし，p,qを素数とする．このとき，2次方程式
ax2-px+q=0
の2解が整数となるような組(a,p,q)をすべて求めよ．
(4)△ABCの・・・

　国立 高知大学 2015年 第2問

関数f(x)=nx2-2(a1+a2+・・・+an)x+({a1}2+{a2}2+・・・+{an}2)を考える．ただし，nは正の整数で，a1,a2,・・・,anは実数である．次の問いに答えよ．
(1)n=1およびn=2のとき，常にf(x)≧0であることを示せ．
(2)すべてのnに対し，常にf(x)≧0であることを示せ．
(3){(a1+a2+・・・+an)}2≦n({a1}2+{a2}2+・・・+{an}2)であることを示せ．
(4){(a1+a2+・・・+an)}2=n({a1}2+{a2}2+・・・+{an}2)であれば，a1,a2,・・・,a_・・・

　国立 高知大学 2015年 第3問

cを実数として，次の条件（イ），（ロ）によって定められる数列{an}がある．
（イ）a1=0
（ロ）n=1,2,3,・・・に対し
a_{n+1}={\begin{array}{ll}
an+c&(an＜5　のとき　)\
an-5&(5≦an＜10　のとき　)\
2an-c+1&(an≧10　のとき　)
\end{array}.
次の問いに答えよ．
(1)c=5のとき，{an}を求めよ．
(2)c=10のとき，{an}を求めよ．
(3)c＜5のとき，an＜10\・・・

　国立 室蘭工業大学 2015年 第3問

aを定数とし，0＜a＜π/2とする．媒介変数tを用いて
{\begin{array}{l}
x=cos3t\
y=sin3t\phantom{2^{\mkakko{}}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\end{array}.(0≦t≦π/2)
と表される曲線をCとする．また，Cの0≦t≦aの部分の長さをLとする．
(1)Lをaを用いて表せ．ただし，LはL=∫0a\sqrt{(dx/dt)2+(dy/dt)2}dtと表される．
(2)・・・

　国立 東京海洋大学 2015年 第5問

関数f(x)はすべての実数xについて
f(x)=x+ex∫0xe^{-t}f(t)dt
を満たす．
(1)f(0)の値を求めよ．
(2)f´(x)=2f(x)-x+1が成り立つことを示せ．
(3)g(x)=e^{-2x}f(x)とする．g´(x)を求めよ．
(4)f(x)を求めよ．

　国立 群馬大学 2015年 第3問

aを定数，eを自然対数の底とし，f(x)=(a-x2)e^{-\frac{x2}{2}}とおく．
(1)x＞0のとき，不等式ex＞1+x+\frac{x2}{2}が成り立つことを証明せよ．これを用いて\lim_{x→∞}f(x)=0を示せ．
(2)関数f(x)が-1＜x＜2においてちょうど2個の極値をもつように，定数aの値の範囲を定めよ．
(3)aは(2)で定めた範囲にあるとする．区間(-∞,∞)におけるf(x)の最大値と最小値を求めよ．

　国立 福井大学 2015年 第1問

三角形OABがあり，0＜p＜1，0＜q＜1として，辺OAをp:(1-p)に内分する点をC，辺OBをq:(1-q)に内分する点をDとする．線分ADと線分BCの交点をE，線分AB，OE，CDの中点をそれぞれF，G，Hとする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルbとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトルOEをp,q,ベクトルa,ベクトルbを用いて表せ．
(2)3点F，G，Hは一直線・・・

　国立 福井大学 2015年 第1問

三角形OABがあり，0＜p＜1，0＜q＜1として，辺OAをp:(1-p)に内分する点をC，辺OBをq:(1-q)に内分する点をDとする．線分ADと線分BCの交点をE，線分AB，OE，CDの中点をそれぞれF，G，Hとする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルbとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトルOEをp,q,ベクトルa,ベクトルbを用いて表せ．
(2)3点F，G，Hは一直線・・・

　国立 福井大学 2015年 第2問

三角形OABがあり，0＜p＜1，0＜q＜1として，辺OAをp:(1-p)に内分する点をC，辺OBをq:(1-q)に内分する点をDとする．線分ADと線分BCの交点をE，線分AB，OE，CDの中点をそれぞれF，G，Hとする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルbとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトルOEをp,q,ベクトルa,ベクトルbを用いて表せ．
(2)3点F，G，Hは一直線・・・