「素数」について

　問題集 センター試験 2015年 第2問

\kagiichi条件p1,p2,q1,q2の否定をそれぞれ\overline{p1},\overline{p2},\overline{q1},\overline{q2}と書く．
(1)次の[ア]に当てはまるものを，下の\nagamarurei～\nagamarusanのうちから一つ選べ．
命題「（p1かつp2）⇒（q1かつq2）」の対偶は[ア]である．
\nagamarurei（\overline{p1}または\overline{p2}）⇒（\overline{q1}または\overline{q2}）
\mon・・・

　国立 一橋大学 2015年 第1問

nを2以上の整数とする．n以下の正の整数のうち，nとの最大公約数が1となるものの個数をE(n)で表す．たとえば
E(2)=1,E(3)=2,E(4)=2,・・・,E(10)=4,・・・
である．
(1)E(1024)を求めよ．
(2)E(2015)を求めよ．
(3)mを正の整数とし，pとqを異なる素数とする．n=pmqmのとき\frac{E(n)}{n}≧1/3が成り立つことを示せ．

　国立 九州大学 2015年 第5問

以下の問いに答えよ．
(1)nが正の偶数のとき，2n-1は3の倍数であることを示せ．
(2)nを自然数とする．2n+1と2n-1は互いに素であることを示せ．
(3)p,qを異なる素数とする．2^{p-1}-1=pq2を満たすp,qの組をすべて求めよ．

　国立 九州大学 2015年 第4問

以下の問いに答えよ．
(1)nが正の偶数のとき，2n-1は3の倍数であることを示せ．
(2)pを素数とし，kを0以上の整数とする．2^{p-1}-1=pkを満たすp,kの組をすべて求めよ．

　国立 東京工業大学 2015年 第5問

nを相異なる素数p1,p2,・・・,pk(k≧1)の積とする．a,bをnの約数とするとき，a,bの最大公約数をG，最小公倍数をLとし，
f(a,b)=L/G
とする．
(1)f(a,b)がnの約数であることを示せ．
(2)f(a,b)=bならば，a=1であることを示せ．
(3)mを自然数とするとき，mの約数であるような素数の個数をS(m)とする．S(f(a,b))+S(a)+S(b)が偶数であることを示せ．

　国立 佐賀大学 2015年 第4問

pを素数とするとき，次の問に答えよ．
(1)2つの自然数m,nの最大公約数は1であるとし，x=n/mとおく．pxが有理数であるならば，m=1であることを示せ．
(2)方程式
px=-x2+9x-5
が有理数の解xをもつような組(p,x)をすべて求めよ．

　国立 高知大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)|x+1|＜1/2,|y-2|＜1/3のとき
|-8x3+12xy+3y2+4|＜10
を示せ．
次の3題(2)～(4)から1題選択して解答せよ．
(2)12個のサイコロを同時に投げたとき，1の目がちょうどn個出る確率をPnとする．Pnはn=2のとき最大になることを示せ．
(3)aを正の整数とし，p,qを素数とする．このとき，2次方程式
ax2-px+q=0
の2解が整数となるような組(a,p,q)をすべて求めよ．
(4)△ABCの・・・

　国立 群馬大学 2015年 第5問

pは素数とし，m,nは整数でm≠0とする．n,p-m,m+nがこの順で等差数列になり，p-m,n,p+mがこの順で等比数列になるとき，p,m,nを求めよ．

　国立 滋賀医科大学 2015年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)さいころを2回投げて，出た目を順にa,bとおく．関数
f(x)=ax
についてf(b)=6となる確率を求めよ．
(2)さいころを4回投げて，出た目を順にa,b,c,dとおく．関数
f(x)=ax3+bx2+cx
についてf(d)が素数となる確率を求めよ．
(3)さいころを6回投げて，出た目を順にa,b,c,d,e,fとおく．2つの放物線
y=ax2+bx+c,y=dx2+ex+f
がただ1つの共有点をもつ確率を求めよ．

　国立 東京大学 2014年 第5問

rを0以上の整数とし，数列{an}を次のように定める．
a1=r,a2=r+1,a_{n+2}=a_{n+1}(an+1)(n=1,2,3,・・・)
また，素数pを1つとり，anをpで割った余りをbnとする．ただし，0をpで割った余りは0とする．
(1)自然数nに対し，b_{n+2}はb_{n+1}(bn+1)をpで割った余りと一致することを示せ．
(2)r=2,p=17の場合に，10以下のすべての自然数nに対して，bnを求めよ．
(3)ある2つの相異なる自然数n,mに対して，
b_{n+1}=b_{m+1}＞0,\qu・・・