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logxはxの自然対数であり，自然対数の底eの値は2.718・・・・・・である．f0(x)=1とし，自然数nに対してfn(x)=(logx)nとする．次の問いに答えよ．
(1)方程式fn(x)=xが異なる3つの実数解をもつときのnをすべて求めよ．必要ならば，すべての自然数nに対して\lim_{x→∞}\frac{(logx)n}{x}=0であることを用いてもよい．
(2)a0=∫1ef0(x)dxとし，an=1/n!∫1efn(x)dxとする．自然数nに対してa_{n-1・・・
国立 大阪大学 2010年 第1問関数
f(x)=2log(1+ex)-x-log2
を考える．ただし，対数は自然対数であり，eは自然対数の底とする．
(1)f(x)の第2次導関数をf^{\prime\prime}(x)とする．等式
logf^{\prime\prime}(x)=-f(x)
が成り立つことを示せ．
(2)定積分∫0^{log2}(x-log2)e^{-f(x)}dxを求めよ．
国立 神戸大学 2010年 第3問f(x)=\frac{logx}{x},g(x)=\frac{2logx}{x2}(x＞0)とする．以下の問に答えよ．ただし，自然
対数の底eについて，e=2.718・・・であること，\lim_{x→∞}\frac{logx}{x}=0であることを証明なしで用いてよい．
(1)2曲線y=f(x)とy=g(x)の共有点の座標をすべて求めよ．
(2)区間x＞0において，関数y=f(x)とy=g(x)の増減，極値を調べ，2曲線y=f(x),y=g(x)のグラフの概形をかけ．グラフの変曲点は求めなくてよい．
(3)区間1≦x・・・
国立 北海道大学 2010年 第4問0≦x≦1に対して
f(x)=∫01e^{-|t-x|}t(1-t)dt
と定める．ただし，e=2.718・・・は自然対数の底である．
(1)不定積分I1=∫tetdt,I2=∫t2etdtを求めよ．
(2)f(x)をxの指数関数と多項式を用いて表せ．
(3)f(x)はx=1/2で極大となることを示せ．
国立 岩手大学 2010年 第3問整数n=0,1,2,・・・に対して，
\begin{eqnarray}
&&an=∫n^{n+1}{xe^{-x}-(n+1)e^{-n-1}(x-n)}dx\nonumber\\
&&bn=∫n^{n+1}{xe^{-x}-(n+1)e^{-n-1}}dx\nonumber
\end{eqnarray}
とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，eは自然対数の底である．
(1)a0,b0を求めよ．
(2)cn=an-bnで定める数列{cn}の一般項を求めよ．
(3)Sn=Σ_{k=0}nckであるとき，\lim_{n→∞}Snを求めよ．ただし，\lim_・・・
国立 岩手大学 2010年 第6問次の問いに答えよ．ただし，logは自然対数とする．
(1)0＜x＜1なる実数xに対して，不等式
log\frac{1+x}{1-x}＜2x+2/3・\frac{x3}{1-x2}
が成り立つことを示せ．
(2)不等式log2＜25/36が成り立つことを示せ．
国立 名古屋工業大学 2010年 第4問関数f(x)=\frac{logx}{x√x}(x＞1)に対して次の問いに答えよ．必要ならば，自然対数の底eの値は2＜e＜3であることを用いてよい．
(1)関数f(x)の増減を調べよ．
(2)曲線y=f(x)上の点P(t,f(t))における法線ℓの方程式を求めよ．
(3)点Pからx軸に下ろした垂線をPQとする．(2)で求めた法線ℓとx軸との交点をRとする．2点Q，Rの距離の最大値を求めよ．
国立 鳥取大学 2010年 第3問定積分In=∫1e(logx)ndxについて，次の問いに答えよ．ただし，nは自然数，eは自然対数の底とする．
(1)関数f(x)=x(logx)nの導関数を求めよ．
(2)I1を求めよ．
(3)InとI_{n+1}の間に成立する関係式を求めよ．
(4)(3)で求めた関係式を用いてI4を求めよ．
国立 鳥取大学 2010年 第2問定積分In=∫1e(logx)ndxについて，次の問いに答えよ．ただし，nは自然数，eは自然対数の底とする．
(1)関数f(x)=x(logx)nの導関数を求めよ．
(2)I1を求めよ．
(3)InとI_{n+1}の間に成立する関係式を求めよ．
(4)(3)で求めた関係式を用いてI4を求めよ．
国立 山口大学 2010年 第2問次の初項と漸化式で定まる数列{an}を考える．
a1=1/2,a_{n+1}=e^{-an}(n=1,2,3,・・・)
ここで，eは自然対数の底で，1＜e＜3である．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)すべての自然数nについて1/3＜an＜1が成り立つことを示しなさい．
(2)方程式x=e^{-x}はただ1つの実数解をもつことと，その解は1/3と1の間にあることを示しなさい．
(3)関数f(x)=e^{-x}に平均値の定理を用いることによって，次の不等式が成り立つこと・・・
