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2以上の自然数nに対して，関数fn(x)を
fn(x)=(x-1)(2x-1)・・・(nx-1)
と定義する．k=1,2,・・・,n-1に対して，fn(x)が区間\frac{1}{k+1}＜x＜1/kでただ1つの極値をとることを証明せよ．
国立 横浜国立大学 2014年 第4問平面上に半径1と半径2の同心円C1とC2がある．自然数nに対して，C2の周を3n等分する3n個の点がある．この3n個の点の中から異なる3点を選ぶとき，次の(*)をみたす選び方の総数をak(k=0,1,2,3)とする．
(*)選んだ3点を頂点とする三角形の辺のうち，ちょうどk個がC1の周と共有点をもつ．
次の問いに答えよ．
(1)n=2のとき，a0,a1,a2,a3を求めよ．
(2)n≧2のとき，a0,a1,a2,a3をnの・・・
国立 静岡大学 2014年 第3問pを0＜p＜1/6を満たす実数とする．次のように数列{an}を帰納的に定義する．a1=0とし，第n項anを用いた関数
fn(x)=2x3-3px2+6anx-1
が極大値と極小値をもつならば，第n+1項a_{n+1}をfn(x)の極大値と極小値の和により定める．そうでないならば，a_{n+1}=0と定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)f1(x)が極大値と極小値をもつことを示し，a2をpを用いて表せ．
(2)kを自然数とする．関数fk(x)が極大値と極小値をもつならば，関数f_{k+1}(x)も極・・・ 国立 静岡大学 2014年 第4問αを実数とする．2つの関数f(x)=e^{-x}(sinx-cosx)とg(x)=αe^{-x}について，次の問いに答えよ．
(1)∫f(x)dx=-e^{-x}sinx+Cであることを示せ．ただし，Cは積分定数である．
(2)すべてのx≧0についてf(x)≦g(x)が成り立つようなαの値の最小値を求めよ．
(3)αを(2)で求めた最小値とする．曲線y=f(x)(x≧0)と曲線y=g(x)(x≧0)との共有点のx座標を小さい方から順にa0,a1,a2,・・・とし，nが自然・・・
国立 京都大学 2014年 第5問自然数a,bはどちらも3で割り切れないが，a3+b3は81で割り切れる．このようなa,bの組(a,b)のうち，a2+b2の値を最小にするものと，そのときのa2+b2の値を求めよ．
国立 京都大学 2014年 第4問次の式
a1=2,a_{n+1}=2an-1(n=1,2,3,・・・)
で定められる数列{an}を考える．
(1)数列{an}の一般項を求めよ．
(2)次の不等式
{an}2-2an＞10^{15}
を満たす最小の自然数nを求めよ．ただし，0.3010＜log_{10}2＜0.3011であることは用いてよい．
国立 静岡大学 2014年 第2問nを3以上の自然数とし，kを4以上の自然数とする．1からnまでの番号の札が1枚ずつ計n枚ある．この中から1枚の札を引き，番号を記録してからもとに戻す操作をする．この試行をk回くり返す．i回目（1≦i≦k）に引いた札の番号をXiとするとき，次の問いに答えよ．
(1)X1,X2,・・・,Xkがすべて異なる番号である確率を求めよ．
(2)X1,X2,・・・,Xkのうち，ちょうどk-1個が同じ番号である確率を求めよ．
(3)自然数lが2≦l≦k-2を満たすとき，X1・・・
国立 静岡大学 2014年 第4問pを0＜p＜1/6を満たす実数とする．次のように数列{an}を帰納的に定義する．a1=0とし，第n項anを用いた関数
fn(x)=2x3-3px2+6anx-1
が極大値と極小値をもつならば，第n+1項a_{n+1}をfn(x)の極大値と極小値の和により定める．そうでないならば，a_{n+1}=0と定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)f1(x)が極大値と極小値をもつことを示し，a2をpを用いて表せ．
(2)kを自然数とする．関数fk(x)が極大値と極小値をもつならば，関数f_{k+1}(x)も極・・・
国立 埼玉大学 2014年 第1問a1=3，a_{n+1}=\frac{5an-4}{2an-1}(n=1,2,3,・・・)で定義される数列{an}について，以下の問いに答えよ．
(1)すべての自然数nに対し，an＞2であることを示せ．
(2)bn=\frac{1}{an-2}とおく．数列{bn}の一般項を求めよ．
(3)極限\lim_{n→∞}anを求めよ．
国立 埼玉大学 2014年 第1問pを素数とする．以下の問いに答えよ．
(1)1≦r≦p-1を満たす自然数rに対し，\comb{p}{r}はpで割り切れることを示せ．ただし，\comb{p}{r}はp個からr個とる組合せの総数を表すものとする．
(2)1≦s≦q-1を満たす自然数の組(q,s)であって，\comb{q}{s}がqで割り切れないものを1組あげよ．
(3)自然数m,nに対し，(m+n)p-(mp+np)がpで割り切れることを示せ．
(4)自然数nに対し，np-nはpで割り切れることを，nに関する数学的帰納法を用いて証明せよ．・・・
