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nは任意の自然数,また,k=1,2,・・・,nについてakは0≦ak≦kを満たす整数である.このとき,以下の問に答えよ.
(1)数学的帰納法により,次の等式を示せ.
1・1!+2・2!+・・・+n・n!=(n+1)!-1
(2)2015=a1・1!+a2・2!+・・・+an・n!が成り立っているとき,nを求めよ.ただし,an≠0とする.
(3)(2)の等式を成立させるa1,a2,・・・,anを求め,答のみ記入せよ.
私立 早稲田大学 2015年 第6問2つの箱AとBに,自然数が1つ記されたカードが何枚かずつ入っている.箱A,Bからカードを1枚ずつ,合計2枚のカードを取り出す試行を行う.自然数nに対し,取り出された2枚のカードに記された自然数の和がnである確率をPnとする.
(1)箱Aに数字2,3が記されたカードがそれぞれ1枚ずつ,箱Bに数字1,2,3が記されたカードがそれぞれ1枚ずつ入っているとき,P4=\frac{[ネ]}{[ノ]}である.また,取り出された2枚の・・・
私立 早稲田大学 2015年 第2問整数x,yがx2-2y2=1をみたすとき,次の問に答えよ.
(1)整数a,b,u,vが(a+b√2)(x+y√2)=u+v√2をみたすとき,u,vをa,b,x,yで表せ.さらにa2-2b2=1のときのu2-2v2の値を求めよ.ともに答のみでよい.
(2)1<x+y√2≦3+2√2のとき,x=3,y=2となることを示せ.
(3)自然数nに対して,(3+2√2)^{n-1}<x+y√2≦(3+2√2)nのとき,x+y√2=(3+2√2)nを示せ.
私立 早稲田大学 2015年 第4問Nを3以上の自然数とする.1からNまでの数字が書かれたN枚のカードを用意し,AとBの二人で次のようなゲームを行う.まずAは,1からNまでの数のうちから一つ選びそれをKとし,その数はBに知らせずにおく.その後,以下の試行を何度も繰り返す.
BはN枚のカードから無作為に一枚引いてAにその数を伝え,Aは引かれた数字がKより大きければ「上」,K以下であれば「以下」とBに答え,Bはその答からKの範囲を絞り込む.引・・・
私立 立教大学 2015年 第2問aとbは1以上5以下の自然数とし,放物線C:y=-x2+ax-bを定める.このとき,次の問に答えよ.
(1)放物線Cがx軸と相異なる2点で交わるような(a,b)の組は何通りあるか求めよ.
(2)放物線Cがx軸と相異なる2点で交わり,それらのx座標がともに整数であるような(a,b)の組は何通りあるか求めよ.
(3)(2)のとき,放物線Cとx軸の2つの交点の間の距離の最大値と,そのときの(a,b)の組を求めよ.
(4)kは自然数であり,直線y=kx+1は放物線Cと接している.このときのkの最大値・・・
私立 慶應義塾大学 2015年 第1問次の問いに答えよ.
(1)次の問いに答えよ.
(i)f(x,y)=2x2+11xy+12y2-5y-2を因数分解すると,
(x+[1]y+[2])([3]x+[4]y-[5])
である.
(ii)f(x,y)=56を満たす自然数x,yの値は,x=[6],y=[7]である.
(2)xy平面上の2直線y=x+4sinθ+1,y=-x+4cosθ-3の交点をPとおく.ただし,θは実数とする.
\begin{en・・・
私立 慶應義塾大学 2015年 第1問cを定数とし,数列{an}を
an=\frac{c+Σ_{k=1}n2k}{2n}(n=1,2,3,・・・)
で定める.
(1)数列{an}は漸化式
a_{n+1}=[1]+\frac{an}{[2]}(n=1,2,3,・・・)
を満たす.
(2)anをnの式で表すと
an=2-\frac{[3]-c}{2n}(n=1,2,3,・・・)
となる.ゆえに,c=[4]のとき数列{an}は公比1の等比数列になる.
(3)c=1とする.anが1.99を超えない最大のnは[5]である.
(4)c=-38・・・
私立 慶應義塾大学 2015年 第3問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい.
p,qを正の実数として,曲線Cをx^{1/p}+y^{1/q}=1(0≦x≦1,0≦y≦1)により定義する.
(1)曲線Cの方程式をyについて解いて得られる関数をy=f(x)(0≦x≦1)とおく.y=f(x)のグラフが0<x<1において変曲点をもつためにはp,qが条件[あ]を満たすことが必要十分である.
(2)曲線Cとx軸,y軸で囲まれた図形の面積をS(p,q)・・・
私立 慶應義塾大学 2015年 第1問nを自然数とする.表と裏が1/2の確率で出現するコインをn回繰り返し投げる試行をおこなう.各試行に対してn個の数X1,・・・,Xnをつぎのように定義する.
Xi={\begin{array}{ll}
X_{i-1}+1&(i 回目の結果が表の場合 )\
X_{i-1}+2&(i 回目の結果が裏の場合 )
\end{array}.
ただしX0=0とする.X1,X2,・・・,Xnのいずれかが値k(1≦k≦2n)と等しくなる確率をP(n,k)と記す.例えば,n=1ならばP(1,1)=\frac{1}・・・
私立 立教大学 2015年 第1問次の空欄[ア]~[コ]に当てはまる数または式を記入せよ.
(1)2つの自然数p,qがp2+pq+q2=19を満たすとき,p+q=[ア]である.
(2)0≦θ<2πのとき,sin2θ+cosθ-1の最大値は[イ]であり,最小値は[ウ]である.
(3)S=\frac{1}{1+√5}+\frac{1}{√5+√9}+\frac{1}{√9+\sqrt{13}}+・・・+\frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}}とすると,Sの値は[エ]である.
(4)方程式log_{√2}(2-x)+log_・・・