「行列」について

　国立 室蘭工業大学 2014年 第5問

行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})の表す1次変換fは，原点(0,0)以外のある点を原点に移す．
(1)ad-bcの値を求めよ．
(2)a+d=1のとき，A^{2014}-Aを求めよ．

　国立 福井大学 2014年 第3問

行列A=1/4(\begin{array}{cc}
5&3\
3&5
\end{array})に関して，以下の問いに答えよ．
(1)次の等式が成り立つようなcosθ，sinθ，a，bを求めよ．ただし，0≦θ≦π/2とする．
A(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})=(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})・・・

　国立 山形大学 2014年 第4問

行列A=(\begin{array}{cc}
7&-4\
5&-2
\end{array})について，次の問に答えよ．ただし，nは自然数とする．
(1)P=(\begin{array}{cc}
4&1\
5&1
\end{array})とするとき，P^{-1}APを求めよ．
(2)Anを求めよ．
(3)数列{an}を漸化式a1=2，a_{n+1}=\frac{7an-4}{5an-2}で定める．
(i)An=(\begin{array}{cc}
pn&qn\
rn&sn
\end{array})とおくとき，A^{n+1}=AAnである・・・

　国立 山口大学 2014年 第1問

a,bを実数とする．行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
b&a
\end{array})について，次の問いに答えなさい．
(1)すべての自然数nに対して，
An=(\begin{array}{cc}
an&bn\
bn&an
\end{array})
となる実数an,bnがあることを数学的帰納法で示し，an，bnを用いてa_{n+1}，b_{n+1}を表しなさい．
(2)cn=an+bn，dn=an-bnとおく．数列{cn}の漸化式と数列{dn}の漸化式をそれぞれ求め，a,b,nを用いてcn,dnを表しなさ・・・

　国立 山口大学 2014年 第3問

a,bを実数とする．行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
b&a
\end{array})について，次の問いに答えなさい．
(1)すべての自然数nに対して，
An=(\begin{array}{cc}
an&bn\
bn&an
\end{array})
となる実数an,bnがあることを数学的帰納法で示し，an，bnを用いてa_{n+1}，b_{n+1}を表しなさい．
(2)cn=an+bn，dn=an-bnとおく．数列{cn}の漸化式と数列{dn}の漸化式をそれぞれ求め，a,b,nを用いてcn,dnを表しなさ・・・

　国立 島根大学 2014年 第4問

E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})，O=(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})とおく．xを実数とし，行列
X=(\begin{array}{cc}
3x-1&2x-1\
-3x+2&-2x+2
\end{array})
を定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)自然数nに対してXのn乗をXn=(\begin{array}{cc}
Pn(x)&Qn(x)\
Rn(x)&Sn(x)
\end{array})とおく．このとき，すべてのnに対して，x=1/2のとき，Qn・・・

　国立 島根大学 2014年 第3問

E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})，O=(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})とおく．xを実数とし，行列
X=(\begin{array}{cc}
3x-1&2x-1\
-3x+2&-2x+2
\end{array})
を定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)自然数nに対してXのn乗をXn=(\begin{array}{cc}
Pn(x)&Qn(x)\
Rn(x)&Sn(x)
\end{array})とおく．このとき，すべてのnに対して，x=1/2のとき，Qn・・・

　国立 茨城大学 2014年 第1問

以下の各問に答えよ．
(1)\frac{{(1+i)}3}{-2+3i}=a+biを満たす実数a,bを求めよ．ただし，iは虚数単位である．
(2)3つの行列の積(\begin{array}{cc}
2&1\
4&3
\end{array})(\begin{array}{c}
1\
4
\end{array})(\begin{array}{cc}
2&3
\end{array})を計算せよ．
(3)f(x)={(x+4)}^{5/6}{(3x+2)}^{4/3}とする．関数f(x)のx=0における微分係数f´(0)を求めよ．
(4)極限\lim_{n\to・・・

　国立 茨城大学 2014年 第2問

a,bを実数とし，2次の正方行列をA=(\begin{array}{cc}
a-1&b-1\
a2-1&b2-1
\end{array})とする．以下の各問に答えよ．
(1)行列Aが逆行列をもたないような実数a,bの条件を求めよ．
(2)1個のさいころを2回振って出た目の数を順にa,bとおく場合を考える．このとき，行列Aが逆行列をもたない確率を求めよ．ただし，さいころの1から6までの目の出方は，同様に確からしいものとする．

　国立 茨城大学 2014年 第3問

A,Eはそれぞれ行列(\begin{array}{cc}
2&4\
1&-1
\end{array})，(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})を表す．以下の各問に答えよ．
(1)A(A+2E)=a1(A+2E)，A(A-3E)=b1(A-3E)となる数a1，b1を求めよ．
(2)各自然数nに対して
An(A+2E)=an(A+2E),An(A-3E)=bn(A-3E)
となる数an,bnを求めよ．
(3)各自然数nに対して，An=cnA+dnEとなる数cn,dnを求めよ．
(4)極限値\lim_{n→∞}\frac{d・・・