「複素数」について

　私立 早稲田大学 2014年 第1問

複素数α=\frac{-1+√3i}{2}に対して，
Sn=Σ_{k=1}nα^{k-1},Tn=Σ_{k=1}nkα^{k-1}(n=1,2,・・・)
とおく．ただし，α0=1とする．次の問に答えよ．
(1)S_{3m}(m=1,2,・・・)を求めよ．
(2)T_{3m}(m=1,2,・・・)を求めよ．
(3)T_{2014}を求めよ．

　私立 北里大学 2014年 第1問

次の文中の[ア]～[ヒ]にあてはまる最も適切な数を答えなさい．
(1)複素数z=-1+iを考える．ここで，iは虚数単位である．このとき，
z+z2+z3+z4=[ア]+[イ]i
である．また，
Σ_{n=1}^{12}zn=[ウ][エ]+[オ][カ]i
となる．
(2)0≦θ≦πの範囲における関数f(θ)=1/3sinθ+1/2cos2θ-2/3の最小値は\frac{[キ]}{[ク]}，最大値は\displaysty・・・

　国立 愛知教育大学 2013年 第7問

2つの実数a,bは|2a|-2＜b＜2をみたしている．このとき，xの4次方程式
x4+ax3+bx2+ax+1=0・・・・・・(*)
を考える．
(1)x≠0とする．z=x+1/xとおくとき，方程式(*)をzで表せ．
(2)(1)で求めたzの方程式の解は，すべて絶対値が2以下の実数であることを示せ．
(3)複素数α=p+qi（p,qは実数）に対し，\sqrt{p2+q2}を複素数αの「大きさ」ということにする．ただしiは虚数単位を表す．このとき，4次方程式(*)の・・・

　国立 鳥取大学 2013年 第4問

実数tの関数α(t),β(t)をα(t)=\frac{et+e^{-t}}{2}，β(t)=\frac{et-e^{-t}}{2}で定める．実数の定数pに対して点P(x,y)のx座標およびy座標を，複素数
z=\frac{ipα(t)+β(t)}{ipβ(t)+α(t)}
の実部および虚部でそれぞれ与える．ただしiは虚数単位とする．
(1){α(t)}2-{β(t)}2=1となることを示し，x,yをtの関数として表せ．
(2)点Pのx座標のt→∞およびt→-∞のと・・・

　私立 西南学院大学 2013年 第1問

以下の問に答えよ．
(1)不等式x2-2x-30＜0を満たす整数xは，全部で[アイ]個ある．
(2)有理数mとnについて，(2√2+3)m+(5√2-1)n=\frac{1}{3√2-2}が成立するとき，m=\frac{[ウエ]}{[オカキ]}，n=\frac{[ク]}{[オカキ]}である．
(3)2乗して7+24iとなる複素数は，±([ケ]+[コ]i)である．

　私立 神奈川大学 2013年 第1問

次の空欄[]を適当に補え．
(1)三角形ABCにおいて，AC=7，AB=3，∠BAC=120°のとき，BC=[ア]である．
(2)方程式3log8x+log2(x-8)=7を解くと，x=[イ]である．
(3)3+iをかけると1+17iとなる複素数を，a+biの形で表すと[ウ]である．ただし，a,bは実数，iは虚数単位である．
(4)1つのサイコロを6回投げて，1の目と2の目がそれぞれちょうど2回ずつ出る確率は[エ]である．

　私立 愛知工業大学 2013年 第1問

次の[]を適当に補え．
(1)\frac{√5-√2}{√5+√2}+\frac{√5+√2}{√5-√2}=[]，(\frac{√5-√2}{√5+√2})2+(\frac{√5+√2}{√5-√2})2=[]である．
(2)10本のくじの中に2本の当たりくじがある．このくじをA君が2本引き，次にBさんが2本引く．ただし，引いたくじはもとに戻さないとする．このとき，A・・・

　私立 藤田保健衛生大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)0≦θ＜2πとする．2sin2θ-3cosθ-3≧0を満足するθの範囲は[]であり，このθに対するtanθの最大値は[]である．
(2)数字1のカード1枚，数字3のカード2枚，数字a（aは1,3,6以外の正の整数）のカード2枚，数字6のカードb枚の中から無作為に1枚のカードを取り出したとき，そのカードに記された数字の期待値が9/2になった．このとき(a,b)の組をすべて求めると(a,b)・・・

　私立 北里大学 2013年 第1問

次の文中の[ア]～[ニ]にあてはまる最も適切な数を答えなさい．
(1)複素数z=1-√3iのとき，
1/z=\frac{[ア]+\sqrt{[イ]}i}{[ウ]}
また，
z3=[エ]+[オ]i
である．
(2)区間0≦x≦3において定義された関数f(x)=|x-1|+1/2|x-2|の最小値は\frac{[カ]}{[キ]}，最大値は\frac{[ク]}{[ケ]}である．
(3)log_{|a-b|}27=3，お・・・

　私立 早稲田大学 2013年 第2問

複素数z=1+2√6iと自然数n=1,2,3,・・・について，複素数znを実数an,bnを用いて
zn=an+bni
と表す．次の問に答えよ．
(1){an}2+{bn}2=5^{2n}(n=1,2,3,・・・)であることを示せ．
(2)すべてのnについてa_{n+2}=pa_{n+1}+qanが成り立つ定数p,qを求めよ．
(3)どんなnについてもanは5の整数倍でないことを示せ．
(4)zn(n=1,2,3,・・・)は実数でないことを示せ．