「連続」について

　国立 長岡技術科学大学 2012年 第4問

以下の問いに答えなさい．
(1)自然数m,nに対して，m以上m+n以下の自然数の和をm,nの式で表しなさい．
(2)12は，12=3+4+5と連続する3つの自然数の和として表すことができる．88を連続する2つ以上の自然数の和として表しなさい．

　国立 電気通信大学 2012年 第2問

区間0≦x≦πで連続な関数f(x)に対して，定積分
I=∫0^π{tsinx-f(x)}2dx(t　は実数　)
を考える．定数c1,c2,c3を
c1=∫0^πsin2xdx,c2=∫0^πf(x)sinxdx,c3=∫0^π{f(x)}2dx
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)Iを，tおよびc1,c2,c3を用いて表せ．
(2)c1の値を求めよ．\\
以下では，Iを最小にするtの値をt0とし，その最小値をI0とする．
(3)t0をc2を用い・・・

　国立 鳥取大学 2012年 第4問

連続な関数f(x)が以下の式を満たすとき，次の問いに答えよ．
∫ax(x-t)f(t)dt=cos(ax)-b
ただしa,bは定数で0＜a＜2とする．
(1)定数a,bの値を求めよ．
(2)f(x)を求めよ．
(3)f(x)が最大値を取るときのxの値を求めよ．

　国立 宮城教育大学 2012年 第5問

関数f(x)は微分可能で，導関数f´(x)は連続であるとする．p(x)=xe^{2x}とおくとき，f(x)は
∫0xf(t)cos(x-t)dt=p(x)
を満たしている．このとき次の問いに答えよ．
(1)f(0)=p´(0)を示せ．
(2)f´(x)=p(x)+p^{\prime\prime}(x)を示せ．
(3)f(x)を求めよ．

　国立 金沢大学 2012年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)f(t)を0≦t≦1で連続な関数とする．tanx=tとおいて，
∫0^{π/4}\frac{f(tanx)}{cos2x}dx=∫01f(t)dt
であることを示せ．
(2)(1)を用いて，0以上の整数nに対し，∫0^{π/4}\frac{tannx}{cos2x}dxの値を求めよ．また，
∫0^{π/4}tannxdx≦\frac{1}{n+1}
を示せ．
(3)0以上の整数nと0≦x≦π/4を満たすxに対し，
\・・・

　国立 京都教育大学 2012年 第3問

自然数6は6=1+2+3と2つ以上の連続する自然数の和として表すことができる．同様に，15は15=4+5+6と表すことができる．ただし，このような表し方は1通りとは限らない．実際，15は15=1+2+3+4+5とも表すことができる．次の問に答えよ．
(1)3つの連続する自然数の和として表すことができる数を，小さいものから順に5個書け．
(2)4つの連続する自然数の和として表すことができる数を，小さいものから順に5個書け．
(3)5つの連続する自然数の和として表すことができる数を，小さいものから順に5個・・・

　私立 青森中央学院大学 2012年 第4問

連続する3つの自然数n,n+1,n+2について考える．\\

n2+(n+1)2+(n+2)2=245となるとき，nの値を求めよ．

　私立 慶應義塾大学 2012年 第5問

集合{1,2,3,・・・,n}の部分集合の中で，連続する自然数を含まない部分集合の個数をf(n)とする．ただし空集合は連続する自然数を含まない部分集合とする．たとえばn=4のとき，{1,3,4}は連続する自然数を含む部分集合，{2}や{1,3}は連続する自然数を含まない部分集合である．このときf(1)=[(101)]，f(2)=[(102)]，f(3)=[(103)]となる．n≧3のとき
f(n)=f(n-1)+[(104)]f(n-[(105)])
である．f(10)=[(106)][(107)][(108)]となる．

　私立 自治医科大学 2012年 第4問

連続する3つの自然数n,n+1,n+2について考える．n2+(n+1)2+(n+2)2=245となるとき，nの値を求めよ．

　私立 慶應義塾大学 2012年 第4問

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．
(1)0≦α＜β≦π/2かつR＞0とする．極座標(r,θ)に関する条件
0≦r≦R,α≦θ≦β
により定まる図形をx軸のまわりに回転させて得られる立体の体積をTとする．Tをα,β,Rを用いた式で表すと
T=[あ]
である．
(2)極方程式r=f(θ)(0≦θ≦α)で表される曲線Cと，θ=αで表され・・・