「長方形」について

　国立 三重大学 2012年 第4問

hを0＜h＜1を満たす実数とし，
f(x)=x2+2\biggl(1-1/h\biggr)x+1,g(x)=-x2+2\biggl(1+1/h\biggr)x+1
とする．
(1)2つの曲線y=f(x)とy=g(x)で囲まれる図形の面積S(h)を求めよ．
(2)(1)で定めた図形を含む，各辺がx軸またはy軸に平行であるような長方形のうち，面積が最小となるものの面積をT(h)とする．hが0に限りなく近づくとき，\frac{T(h)}{S(h)}の極限値を求めよ．

　国立 帯広畜産大学 2012年 第2問

座標平面上の2点A(6,0)，B(-2,4)を結ぶ線分AB上を点Tが移動する．原点Oと点Tを頂点とし，2辺がそれぞれx軸とy軸上にある長方形の面積をSとする．また，点Tの座標を(x,f(x))とし，Sをxの関数としてS(x)と表す．次の各問に解答しなさい．
(1)f(x)とS(x)をxで表しなさい．さらに，区間-2≦x≦6におけるy=S(x)のグラフの概形を図示しなさい．
(2)直線x=-2と曲線y=S(x)およびx軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．
(3)区間-2≦x≦4における任意のxの値に・・・

　国立 愛知教育大学 2012年 第4問

座標空間内において，4点(2,0,0)，(2,1,0)，(-2,1,0)，(-2,0,0)を頂点とする長方形をx軸のまわりに回転してできる円柱と，原点を中心とする半径2の球との共通部分の体積を求めよ．

　国立 山梨大学 2012年 第1問

次の問題文の枠内にあてはまる数あるいは数式を答えよ．
(1)関数f(x)がpを周期とする周期関数であるとは，すべてのxで等式[]が成立することである．関数g(x)=sin2(5x+π/3)の正の最小の周期は[]である．
(2)実数xが-π＜x≦πのとき，無限級数Σ_{k=1}^∞sinkxが収束する条件は，xの値が[]以外のときであり，収束するときの無限級数の和は[]である．
(3)∫_{-10}0\frac{1}{・・・

　私立 早稲田大学 2012年 第2問

座標平面上に4点O(0,0)，A(2,0)，B(2,1)，C(0,1)がある．実数aに対して4点P(a+1,a)，Q(a,a+1)，R(a-1,a)，S(a,a-1)をとる．このとき，次の設問に答えよ．
(1)長方形OABCと正方形PQRSが共有点を持つようなaの範囲を求めよ．
(2)長方形OABCと正方形PQRSの共通部分の面積が最大となるaの値と，そのときの共通部分の面積を求めよ．

　私立 早稲田大学 2012年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)整数x,yがx2-23y2=1を満たすとき，次の問いに答えよ．
(2)1＜x+\sqrt{23}y＜49のとき，x=[ケ]，y=[コ]である．
(3)1より小なるx+\sqrt{23}yが最大になるのはx=[サ]，y=[シ]のときである．
(4)曲線y=x2，x軸，および直線x=1で囲まれた図形の面積をSとする．この図形の面積の近似値を以下の方法を用いて求める．区間0≦x≦1をn等分し，i(1≦i≦n)番目の区間\displayst・・・

　私立 川崎医療福祉大学 2012年 第1問

次の問に答えなさい．
(1)式8x2-2x-15を因数分解すると，
(\mkakko{1}x-\mkakko{2})(\mkakko{3}x+\mkakko{4})
となる．
(2)xに関する2次方程式2x2-(2m-3)x-3m=0が重解を持つとき，m=\mkakko{5}である．
(3)\frac{√6}{\frac{1}{√2}+\frac{1}{√3}}=\mkakko{6}(\sqrt{\mkakko{7}}-\sqrt{\mkakko{8}})である．
(4)\frac{3√2-4√3}{√2}より大きい整数のうち，最小の・・・

　私立 北海学園大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)x=3+√2のとき，\frac{(x+2)(x-1)+2}{(x-2)(x-1)-2}の値を求めよ．
(2)xの2次方程式2x2-5x+3=0と2x2+3x+a=0を同時に満たす実数解が，少なくとも1つあるような定数aの値をすべて求めよ．
(3)周の長さがaメートルで，面積が\frac{a2}{25}平方メートル以上の長方形の庭園を造りたい．庭園の縦の長さをxメートルとするとき，xの値の範囲をaを用いて表せ．ただし，aは正の定数とする．

　私立 東京理科大学 2012年 第3問

自然数n=1,2,3,・・・に対し，x＞0で定義された関数fn(x)を
fn(x)=\frac{logx}{xn}(x＞0)
で定める．ただし，logは自然対数を表す．
t＞1とするとき，座標平面において曲線y=fn(x)のx≦tの部分，x軸，直線x=tの3つで囲まれている図形の面積をSn(t)とする．また，4点(1,0)，(t,0)，(t,fn(t))，(1,fn(t))を頂点とする長方形の面積をTn(t)とする．
(1)関数fn(x)が極大となるときのxの値と，そのときのfn(x)の極大値を・・・

　私立 愛知学院大学 2012年 第3問

周囲の長さが30\;cmの長方形の面積が50\;cm2以上54\;cm2以下だとする．このとき，この長方形の1辺の長さxの条件を求めなさい．