防衛医科大学校
2015年 医学部 第4問

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  4. 2015年 - 医学部 - 第4問
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関数f_1(x)=\frac{2}{1+e^x}，logf_2(x)=1/2∫_0^xf_1(t)dt，logf_3(x)=-1/2∫_0^xf_2(t)dt，logf_4(x)=1/2∫_0^xf_3(t)dt，・・・，logf_k(x)=\frac{{(-1)}^k}{2}∫_0^xf_{k-1}(t)dt(k=2,3,4,・・・)とする．ただし，logは自然対数である．また，g_k(x)=f_k(x)×\frac{xsinx}{4-cos^2x}(k=1,2,3,・・・)とする．さらに，I_n=Σ_{k=1}^{2n+1}∫_{-π}^{π}g_k(x)dx(n=1,2,3,・・・)，J=∫_0^{π}\frac{xsinx}{4-cos^2x}dx，K=∫_0^{π}\frac{sinx}{4-cos^2x}dxとする．このとき，以下の問に答えよ．(1)f_k(x)を積分を使わずに表せ（k=2,3,4,・・・）．(2)I_nをJで表せ（n=1,2,3,・・・）．(3)JをKで表せ．(4)I_nを求めよ（n=1,2,3,・・・）．
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