千葉工業大学
2016年 工・情報科学・社シス科学 第4問
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![xの2次関数f_1(x),f_2(x),・・・,f_n(x),・・・を条件f_1(x)=x^2-5x,f_{n+1}(x)=x^2∫_0^2{t{f_n}´(t)-f_n(t)}dt+x∫_0^2f_n(t)dt(n=1,2,3,・・・)により定める．さらに，数列{a_n}，{b_n}(n=1,2,3,・・・)をf_n(x)=a_nx^2+b_nxにより定める．このとき，次の問いに答えよ．(1){f_n}´(x)=[ア]a_nx+b_nであり，数列{a_n}，{b_n}はa_{n+1}=\frac{[イ]}{[ウ]}a_n,b_{n+1}=\frac{[エ]}{[オ]}a_n+[カ]b_n(n=1,2,3,・・・)をみたす．(2)a_n=(\frac{[キ]}{[ク]})^{n-1}(n=1,2,3,・・・)であり，c_n=\frac{b_n}{{[カ]}^{n-1}}とおくと，c_{n+1}-c_n=(\frac{[ケ]}{[コ]})^n(n=1,2,3,・・・)が成り立つ．(3)f_n(x)=(\frac{[キ]}{[ク]})^{n-1}x^2+{[サ]・(\frac{[シ]}{[ス]})^{n-1}-[セ]・{[ソ]}^{n-1}}xである．(4)xの方程式f_n(x)=0のx=0とは異なる解をx=p_nとする．不等式p_n＞Mがすべての正の整数nに対して成り立つような定数Mのうち，最大の整数はM=[タチ]であり，[タチ]＜p_n＜[タチ]+1となるような最小のnは[ツ]である．ただし，log_{10}2=0.3010，log_{10}3=0.4771とする．](./thumb/164/2247/2016_4.png?1)
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