電気通信大学
2015年 理系 第4問

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  4. 2015年 - 理系 - 第4問
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数列{a_n}は初項がa_1=1，公差が正の定数dの等差数列とする．このとき，自然数の定数pを用いてb_n=a_na_{n+p}(n=1,2,3,・・・)で定まる数列{b_n}について考える．ただし，a_na_{n+p}はa_nとa_{n+p}の積を表す．以下の問いに答えよ．(1)数列{b_n}の階差数列{c_n}が等差数列であることを示せ．さらに，数列{c_n}の初項c_1と公差Dをd,pを用いて表せ．(2)ある定数Cを用いて\frac{1}{b_n}=C(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+p}})(n=1,2,3,・・・)と表すことができる．このとき，Cをd,pを用いて表せ．以下の問いでは，数列{b_n}が初項から順にb_1=7,b_2=40,b_3=91,・・・となる場合を考える．(3)定数d,pおよび数列{a_n}，{b_n}の一般項をそれぞれ求めよ．(4)数列{b_n}に対して，S_n=Σ_{k=1}^n\frac{1}{b_k}(n=1,2,3,・・・)とおく．極限値\lim_{n→∞}S_nを求めよ．
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