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等比数列{a_n}と等差数列{b_n}を次の通りとする.a_n=(\frac{1}{√2})^{n-3},b_n=\frac{3π(n-1)}{4}(n=1,2,3,・・・)これらを用いて,座標平面上の点P_nをP_n(a_ncosb_n,a_nsinb_n)(n=1,2,3,・・・)で定める.このとき,以下の問いに答えよ.(1)点P_4が線分P_1P_2の中点であることを示せ.(2)線分P_nP_{n+1}の長さl_nをnの式で表せ.(3)極限値L=\lim_{n→∞}Σ_{k=1}^nl_kを求めよ.(4)座標平面上の曲線Cが媒介変数tと定数α,βを用いて,x=2^{αt+β}cost,y=2^{αt+β}sintと表されるとする.曲線Cがt=0で点P_1を通り,t=\frac{3π}{4}で点P_2を通るとき,α,βの値を求めよ.(5)(4)で求めたα,βの値に対し,曲線Cがすべての点P_n(n=1,2,3,・・・)を通ることを示せ.
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