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2018年 理系 第2問

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  4. 2018年 - 理系 - 第2問
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関数f(x)=ax+xe^{-x}を考えるとき，以下の問いに答えよ．ただし，eは自然対数の底とし，aは定数とする．(1)導関数f´(x)および第2次導関数f^{\prime\prime}(x)を求めよ．(2)曲線y=f(x)の変曲点Aのx座標x_0を求めよ．さらに，すべての実数xに対して，不等式f´(x)＞0が成り立つような定数aの条件を求めよ．以下では，定数aは，(2)で求めた条件をみたすとする．(3)曲線y=f(x)の変曲点A(x_0,f(x_0))における接線ℓの方程式を定数aを用いて表せ．(4)次の不定積分をそれぞれ求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．I_1=∫xe^{-x}dx,\qquadI_2=∫x^2e^{-x}dx(5)曲線y=f(x)，y軸および接線ℓで囲まれる図形をy軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ．
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