福島県立医科大学医学部 2012年問題4

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$自然数を自然数に移す関数f(n)={\begin{array}{cl}n/2&(n　が偶数のとき　)\n+1&(n　が奇数のとき　)\end{array}.について，fがmをnに移すことを，m\longmapsto\hspace{-9mm}{\phantom{1/2}}^f\hspace{3mm}nと表す．例えば，2\longmapsto\hspace{-10mm}{\phantom{{2^2}^2}}^f\hspace{2.5mm}1,\qquad3\longmapsto\hspace{-10mm}{\phantom{{2^2}^2}}^f\hspace{3mm}4\longmapsto\hspace{-10mm}{\phantom{{2^2}^2}}^f\hspace{3mm}2\longmapsto\hspace{-10mm}{\phantom{{2^2}^2}}^f\hspace{3mm}1である．2以上の自然数nをfで繰り返し移すとき，1に移るまでに必要な最小の移動回数をa_nとする．したがって，a_2=1，a_3=3である．nを自然数として，以下の問いに答えよ．(1)a_{2n+1}とa_{2n+2}をそれぞれa_{n+1}を用いて表せ．(2)数列{a_2,a_3,a_4,・・・}を次のように，第n群の項数が2^{n-1}になるように分ける．a_2\;|\;a_3,a_4\;|\;a_5,a_6,a_7,a_8\;|\;a_9,a_{10},a_{11},a_{12},a_{13},a_{14},a_{15},a_{16}\;|\;・・・(i)第n群の初項をnを用いて表せ．(ii)第n群の総和をS_nとする．S_{n+1}をnとS_nを用いて表せ．また，S_nをnを用いて表せ．(iii)Σ_{k=2}^{2^n}a_kをnを用いて表せ．$