茨城大学
2017年 理学部 第3問

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  4. 2017年 - 理学部 - 第3問
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nを自然数とし，対数は自然対数とする．x＞0の範囲で，2つの曲線C:y=xlogxとC_n:y=k_nx^{n+1}を考える．CとC_nは共有点P_nをもち，かつP_nにおけるCとC_nの接線が一致するように定数k_nを定める．P_nのx座標をa_nとする．以下の各問に答えよ．(1)関数y=xlogx(x＞0)の増減，極値，および曲線Cの凹凸，変曲点を調べ，Cの概形をかけ．ただし，\lim_{x→+0}xlogx=0であることは証明せずに用いてよい．(2)k_nおよびa_nをnを用いて表せ．(3)曲線CとC_2および，2直線x=a_1，x=a_2で囲まれた部分の面積Tを求めよ．(4)点P_nにおける曲線C_nの接線とx軸との交点のx座標をb_nとし，C_n，2直線x=a_n，x=b_nおよびx軸で囲まれた部分の面積をS_nとする．極限値\lim_{n→∞}n^2S_nを求めよ．ただし，eを自然対数の底とし，\lim_{n→∞}(1+1/n)^n=eであることは証明せずに用いてよい．
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