鹿児島大学
2018年 医（医）・理（数理・物理・地環）・工・歯 第6問

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  4. 2018年 - 医（医）・理（数理・物理・地環）・工・歯 - 第6問
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関数f(x)=\frac{log(x+1)}{x+1}について，次の各問いに答えよ．ただし，x≧0とする．また，log(x+1)はx+1の自然対数を表す．(1)自然対数の底eに対して，t≧0のときe^t＞\frac{t^2}{2}が成立することを用いて\lim_{x→∞}\frac{log(x+1)}{x+1}=0を示せ．(2)f(x)の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．(3)自然数n=1,2,・・・に対して正の数a_nを，曲線y=f(x)と直線x=a_nおよびx軸で囲まれた部分の面積がn^2に等しくなるように定める．このa_nを求めよ．(4)(3)で定まる数列{a_n}に対して，\lim_{n→∞}\frac{a_{n+1}}{a_n}を求めよ．
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