慶應義塾大学
2015年 理工学部 第5問

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  4. 2015年 - 理工学部 - 第5問
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袋に赤玉が2個と白玉が1個入っている．袋から玉を1個取り出し玉の色を見て袋に戻す．このとき取り出した玉と同色の玉をもう1つ袋に加える．この操作を繰り返して行う．(1)n回目の操作を終えたとき，それまでに赤玉を取り出した回数がk回（0≦k≦n）であったとする．このとき，n+1回目の操作で赤玉を取り出す確率をp_n(k)とおくと，p_n(k)=[ナ]となる．(2)n回目の操作を終えるまでに赤玉を取り出す回数がk回（0≦k≦n）である確率をq_n(k)とおく．たとえば，q_1(1)=2/3，q_4(2)=[ニ]となる．n回の操作中j回目（1≦j≦n）だけ赤玉を取り出し，その他の操作では白玉を取り出す確率は[ヌ]であり，q_n(1)=n×[ヌ]となる．q_n(k)をnとkを用いて表すと，q_n(k)=[ネ]となる．(3)n回目の操作を終えるまでに赤玉を取り出す回数がk回（0≦k≦n）であり，n+1回目の操作で赤玉を取り出す確率は，(1)と(2)で定めたp_n(k)とq_n(k)を用いてq_n(k)p_n(k)となる．このことから，n+1回目に赤玉を取り出す確率を計算すると[ノ]となる．(4)f(x)=e^{-x^2}とする．S_nを(1)と(2)で定めたp_n(k)とq_n(k)を用いてS_n=Σ_{k=0}^nf(p_n(k))q_n(k)とおくと，\lim_{n→∞}S_n=[ハ]となる．
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