慶應義塾大学経済学部 2016年問題2

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$以下の条件で定められる数列{a_n}がある．a_1=1/10,a_{n+1}=\frac{1}{100}a_n+1/10(n=1,2,3,・・・)(1){a_n}の階差数列{b_n}をb_n=a_{n+1}-a_n(n=1,2,3,・・・)で定める．{b_n}は等比数列で，初項を\frac{1}{{10}^p}，公比を\frac{1}{{10}^q}とおくと，p=[13]，q=[14]となる．ゆえに，{b_n}の第n項をb_n=\frac{1}{{10}^{rn+s}}(n=1,2,3,・・・)とおくと，r=[15]，s=[16]となる．さらに，{a_n}の第n項は，a_n=a_1+Σ_{k=[17]}^{n+[18][19]}b_k=\frac{\frac{1}{{10}^t}(1-\frac{1}{{10}^{un}})}{1-\frac{1}{{10}^v}}(n=2,3,4,・・・)と求められる．ここで，t=[20]，u=[21]，v=[22]である．(2)S_n=Σ_{k=1}^n\frac{1}{{10}^{2k}a_ka_{k+1}}(n=1,2,3,・・・)とおく．関係式\frac{b_k}{a_ka_{k+1}}=\frac{[23][24]}{a_k}+\frac{[25][26]}{a_{k+1}}(k=1,2,3,・・・)を用いて計算すると，S_n=\frac{{10}^w(1-\frac{1}{{10}^{xn}})}{1-\frac{1}{{10}^{yn+z}}}となる．ここで，w=[27]，x=[28]，y=[29]，z=[30]である．(3)({100}^{n+1}-1)S_nは[31]n+[32][33]桁の整数になる．$