九州工業大学
2018年 工学部・情報工学部 第3問

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平面α上の△OABに対して,ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,|ベクトルa|=1,|ベクトルb|=t,∠AOB=θとする.ただし,0<θ<πとする.また,△OABの面積をSとする.次に答えよ.(1)|ベクトルOA|^2+|ベクトルOB|^2+|ベクトルAB|^2-4√3Sをt,cosθ,sinθを用いて表せ.(2)tを固定したとき,(1)で求めた式をf(θ)とする.f(θ)の最小値をtを用いて表せ.また,その最小値をとるときのθの値を求めよ.設問(3),(4)では,点Pが平面α上を動くものとし,ベクトルOP=ベクトルxとする.(3)tおよびθを固定したとき,|ベクトルOP|^2+|ベクトルAP|^2+|ベクトルBP|^2の最小値をt,cosθを用いて表せ.また,その最小値をとるときのベクトルxをベクトルa,ベクトルbを用いて表せ.(4)t,θおよびベクトルxによらず,|ベクトルOP|^2+|ベクトルAP|^2+|ベクトルBP|^2≧\frac{4√3}{3}Sが成り立つことを示せ.また,この不等式において等号が成立するのはどのような場合か答えよ.
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