お茶の水女子大学
2013年 数学科・物理学科(共通問題) 第6問

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座標平面上の3点A(a_1,a_2),B(b_1,b_2),C(c_1,c_2)について考える.I=(\begin{array}{cc}1&0\0&1\end{array}),J=(\begin{array}{cc}-1/2&-\frac{√3}{2}\\frac{√3}{2}&-1/2\end{array})とおく.(1)I+J+J^2,J^3を求めよ.(2)(\begin{array}{c}a_1\a_2\end{array})≠(\begin{array}{c}0\0\end{array}),(\begin{array}{c}b_1\b_2\end{array})=J(\begin{array}{c}a_1\a_2\end{array}),(\begin{array}{c}c_1\c_2\end{array})=J^2(\begin{array}{c}a_1\a_2\end{array})のとき,3点A,B,Cは正三角形をなすことを示せ.(3)3点A,B,Cが異なり,(\begin{array}{c}a_1\a_2\end{array})+J(\begin{array}{c}b_1\b_2\end{array})+J^2(\begin{array}{c}c_1\c_2\end{array})=(\begin{array}{c}0\0\end{array})が成り立つとき,三角形ABCが正三角形となることを示せ.
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