大阪大学
2015年 理系 第1問

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  4. 2015年 - 理系 - 第1問
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自然数nに対して関数f_n(x)をf_n(x)=\frac{x}{n(1+x)}log(1+x/n)(x≧0)で定める．以下の問いに答えよ．(1)∫_0^nf_n(x)dx≦∫_0^1log(1+x)dxを示せ．(2)数列{I_n}をI_n=∫_0^nf_n(x)dxで定める．0≦x≦1のときlog(1+x)≦log2であることを用いて数列{I_n}が収束することを示し，その極限値を求めよ．ただし，\lim_{x→∞}\frac{logx}{x}=0であることは用いてよい．
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