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座標空間に6点A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),E(0,-1,0),F(0,0,-1)を頂点とする正八面体ABCDEFがある.s,tを0<s<1,0<t<1を満たす実数とする.線分AB,ACをそれぞれ1-s:sに内分する点をP,Qとし,線分FD,FEをそれぞれ1-t:tに内分する点をR,Sとする.(1)4点P,Q,R,Sが同一平面上にあることを示せ.(2)線分PQの中点をLとし,線分RSの中点をMとする.s,tが0<s<1,0<t<1の範囲を動くとき,線分LMの長さの最小値mを求めよ.(3)正八面体ABCDEFの4点P,Q,R,Sを通る平面による切り口の面積をXとする.線分LMの長さが(2)の値mをとるとき,Xを最大とするようなs,tの値と,そのときのXの値を求めよ.(プレビューでは図は省略します)
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