立教大学
2016年 理学部（個別日程） 第3問

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  4. 2016年 - 理学部（個別日程） - 第3問
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次の条件を満たす実数の数列{a_n},{b_n}を考える．a_1=1,b_1=0,{\begin{array}{l}a_{n+1}=1/2(a_n-b_n)\!\!\!\!\!\!\!\!\phantom{\frac{\mkakko{}}{\mkakko{}}}\b_{n+1}=1/2(a_n+b_n)\!\!\!\!\!\!\!\!\phantom{\frac{\mkakko{}}{\mkakko{}}}\end{array}.(n=1,2,3,・・・)また，iを虚数単位とし，複素数z_nをz_n=a_n+b_niとする．このとき，次の問いに答えよ．(1)z_{n+1}=αz_nとなる複素数αを求めよ．(2)(1)で求めた複素数αを極形式でα=r(cosθ+isinθ)と表すとき，rとθを求めよ．ただし，0≦θ＜2πとする．(3)n≧1に対して，z_nを極形式でz_n=r_n(cosθ_n+isinθ_n)と表すとき，r_nとθ_nをnを用いて表せ．ただし，θ_n≧0とする．(4)a_1+a_2+a_3+a_4を求めよ．(5)Nを自然数とするとき，Σ_{n=1}^{4N}a_nをNを用いて表せ．
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