東京理科大学
2015年 理工(数・建築・電気電子情報工) 第2問

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tを0<t<1を満たす実数として,関数f(x)をf(x)=-x^2+(1+t^2)x-t^2と定める.座標平面において,原点Oから放物線y=f(x)へ引いた接線のうち,接点のx座標が正のものを考える.その接点をP(p,f(p))とおく.(1)点Pの座標をtを用いて表せ.(2)放物線y=f(x)のx≦pの部分,x軸,直線x=pで囲まれる図形の面積をS_1とする.S_1をtを用いて表せ.(3)線分OP,x軸,直線x=pで囲まれる図形の面積をS_2とし,(2)のS_1に対してS=S_2-S_1とおく.tが0<t<1の範囲を動くときSを最大にするtの値を求めよ.
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