筑波大学
2017年 理系 第6問

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  4. 2017年 - 理系 - 第6問
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0＜a＜π/2とする．複素数平面上において，原点を中心とする半径1の円の上に異なる5点P_1(w_1)，P_2(w_2)，P_3(w_3)，P_4(w_4)，P_5(w_5)が反時計まわりに並んでおり，次の2つの条件(i)，(ii)を満たすとする．\setlength{skip}{8mm}(i)(cos^2a)(w_2-w_1)^2+(sin^2a)(w_5-w_1)^2=0が成り立つ．(ii)\frac{w_3}{w_2}と-\frac{w_4}{w_2}は方程式z^2-√3z+1=0の解である．また，五角形P_1P_2P_3P_4P_5の面積をSとする．以下の問いに答えよ．(1)五角形P_1P_2P_3P_4P_5の頂点P_1における内角∠P_5P_1P_2を求めよ．(2)Sをaを用いて表せ．(3)R=|w_1+w_2+w_3+w_4+w_5|とする．このとき，R^2+2Sはaの値によらないことを示せ．
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