山梨大学
2015年 工学部・生命環境（生命工） 第5問

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  4. 2015年 - 工学部・生命環境（生命工） - 第5問
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点Oを原点とする座標平面上において，点P(-6,0)をとる．また，曲線x=3cosθ,y=3sinθ(0≦θ≦π)をC_1とする．曲線C_2,C_3,・・・,C_n,・・・を次のように順次定義する．「点Qが曲線C_n上を動くとき，線分PQを1:2に内分する点Rのなす曲線をC_{n+1}とする．」また，各自然数nに対して，点Pを通るx軸と異なる直線が曲線C_nと接するとき，その接点をA_nとする．次に，θを1つ固定し，点X_1(x_1,y_1)をx_1=3cosθ，y_1=3sinθとなる曲線C_1上の点とし，点X_2,X_3,・・・,X_n,・・・を次のように順次定義する．「線分PX_nを1:2に内分する点をX_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1})とする．」(1)x_2およびy_2をθを用いて表せ．(2)∠A_1POおよび∠A_2POを求めよ．(3)x_n,y_nをθを用いて表せ．(4)極限値\lim_{n→∞}x_nおよび\lim_{n→∞}y_nを求めよ．(5)直線A_nA_{n+1}，曲線C_nおよびC_{n+1}で囲まれた領域の面積をa_nとするとき，極限値Σ_{n=1}^∞a_nを求めよ．
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