「変換」について

　私立 同志社大学 2014年 第1問

次の[]に適する数または式を記入せよ．
(1)数列{an}がa1=1，a_{n+1}=4an+1で与えられているとき，a2=[ア]であり，その一般項はan=[イ]となる．また，a_{n+2}-anを5で割った余りは[ウ]である．ここで，anを5で割った余りをbnとする．このとき，b4=[エ]，b5=[オ]であり，Σ_{k=1}^{2n}akbk=[カ]である．
(2)座標平面において1次変換fによる点A(2,0)の像は点C(4,0)であり，点B(0,\・・・

　私立 獨協医科大学 2014年 第4問

行列A=r(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})で表される1次変換fについて考える．点P0の座標を(1,0)とし，nを正の整数とするとき，fによって点P_{n-1}が移される点をPnとする．また，Σ_{k=0}^{n-1}\overrightarrow{OPk}=\overrightarrow{OQn}となる点Qnの座標を(xn,yn)とし，n→∞のときにxn,ynがともに収束する場合の点Qnの極限値\・・・

　公立 大阪市立大学 2014年 第3問

1次変換fは点(1,3)を点(3,5)へ，点(1,-1)を点(1,-1)へ移すとする．fを表す行列をAとするとき，次の問いに答えよ．
(1)Aを求めよ．
(2)A2,A3を求めよ．
(3)自然数nに対してAnを推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ．

　公立 富山県立大学 2014年 第4問

αは実数とする．行列A=(\begin{array}{cc}
1&-√3\
√3&1
\end{array})，B=(\begin{array}{cc}
cosα&-sinα\
sinα&cosα
\end{array})について，次の問いに答えよ．
(1)A=r(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})と表すとき，r,θの値を求めよ．ただし，r＞0，0＜θ＜πとする．
(2)Bn=(\begin{array}{cc}
cosnα&-\・・・

　国立 北海道大学 2013年 第2問

座標平面上で，直線y=xに関する対称移動をfとし，実数cに対して，直線y=cxに関する対称移動をgとする．また，原点を中心とする120°の回転移動をhとする．
(1)fを表す行列，およびhを表す行列を求めよ．
(2)gを表す行列を求めよ．
(3)合成変換f\circgがhになるようにcの値を定めよ．

　国立 岡山大学 2013年 第2問

行列A=(\begin{array}{cc}
a&-b\
b&a
\end{array})で定まる座標平面上の1次変換をfとする．ただし，a,bは実数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)原点Oとは異なる点P(x,y)をfで移した点をQとする．このとき，長さの比の値OQ/OPはPによらないことを示し，その値をa,bを用いて表せ．
(2)正の整数nに対して，An=(\begin{array}{cc}
pn&qn\
rn&sn
\end{array})とする・・・

　国立 広島大学 2013年 第1問

-π/2＜θ＜π/2とする．座標平面上で原点Oを通り傾きがtanθの直線をℓとし，行列
(\begin{array}{cc}
cos2θ&sinθcosθ\
sinθcosθ&sin2θ
\end{array})
の表す1次変換をfとする．座標平面上に2点P,Qがある．次の問いに答えよ．
(1)線分OPが直線ℓと垂直であるとき，1次変換fによる点Pの像を求めよ．
(2)1次変換fによる点Q・・・

　国立 大阪教育大学 2013年 第2問

直線y=mx(m≠0)をℓとし，行列(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})で表される平面上の1次変換fは次の二つの条件を満たすとする．
ℓの各点はfで動かない．
fは点A(1,0)を，Aを通りℓに平行な直線上の点に移す．
このとき，次の問いに答えよ．
(1)a,c,dをb,mを用いて表せ．
(2)ad-bcの値を求めよ．
(3)fにより平面上の任意の点Pは，Pを通りℓに平行・・・

　国立 山形大学 2013年 第4問

行列
A=(\begin{array}{cc}
3/2&-1\
1&-1/2
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
p&-2\
1&q
\end{array}),J=(\begin{array}{cc}
1/2&1\
0&1/2
\end{array})
がAB=BJを満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，p,qは定数であり，以下で用いるnは自然数である．
(1)p,qの値を求めよ．
(2)Jn=\frac{1}{2n}(\・・・

　国立 山形大学 2013年 第4問

自然数nに対し，座標平面上の点(n,1)をPnとする．また，rを正の実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)1次変換fは，すべてのnに対してf(Pn)=P_{n+1}を満たすとする．fを表す行列Aを求めよ．
(2)1次変換gは，点(1,1)を点(-2r,1)に，点(-2r,1)を点(2r2-r,1)に移すとする．gを表す行列Bを求めよ．
(3)C=ABA^{-1}とする．行列Cnを推定し，それが正しいことを数学的帰納法によって示せ．
(4)行列Cnで表される1次変換による点(1,r)・・・