「変換」について

　国立 東北大学 2012年 第2問

mを実数とする．座標平面上で直線y=xに関する対称移動を表す1次変換をfとし，直線y=mxに関する対称移動を表す1次変換をgとする．以下の問いに答えよ．
(1)1次変換gを表す行列Aを求めよ．
(2)合成関数g\circfを表す行列Bを求めよ．
(3)B3=(
\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array}
)となるmをすべて求めよ．

　国立 横浜国立大学 2012年 第2問

行列X=(
\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}
),Y=(
\begin{array}{cc}
-2&3\\
3&6
\end{array}
)はXY=YXを満たす．次の問いに答えよ．
(1)c,dをa,bを用いて表せ．
(2)X2=E,b＞0のとき，Xを求めよ．ただし，Eは単位行列とする．
(3)xy平面上に直線ℓがあり，(2)で求めた行列Xの表す1次変換によってℓ上の点はすべてℓ上の点に移される．ℓの方程式を求めよ．

　国立 広島大学 2012年 第1問

行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}\biggr)の表す1次変換によって，2点P(1,1)，Q(2,2)は連立不等式1≦x≦2,1≦y≦2の表す領域内の点P´，Q´にそれぞれ移されるものとする．ただし，a,b,c,dは正の実数でa＞cを満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)a+b=1およびc+d=1が成り立つことを証明せよ．
(2)4点O(0,0)，R(a,c)，S(a+b,c+d)，T(b,d)を頂点とする・・・

　国立 東京工業大学 2012年 第5問

行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array})で定まる1次変換をfとする．原点O(0,0)と異なる任意の2点P，Qに対して\frac{OP´}{OP}=\frac{OQ´}{OQ}が成り立つ．ただし，P´,Q´はそれぞれP，Qのfによる像を表す．
(1)a2+c2=b2+d2を示せ．
(2)1次変換fにより，点(1,√3)が点(-4,0)に移るとき，Aを求めよ．

　国立 熊本大学 2012年 第2問

実数cに対して，行列
A=\biggl(\begin{array}{cc}
1&-c\\
c&1
\end{array}\biggr)
で表される1次変換をTとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)Tは原点の回りの回転移動と原点中心の拡大(相似変換)との合成変換であることを示せ．
(2)xy平面上の同一直線上にない3点P，Q，RがTによってそれぞれP´，Q´，R´に移るとする．三角形P´Q´R´の面積が三角形PQRの面積の2倍となるcの値を求めよ．
(3)c=2とする．楕円
E:\frac{x2}{4}+y2=1
上・・・

　国立 熊本大学 2012年 第2問

実数cに対して，行列
A=\biggl(\begin{array}{cc}
1&-c\\
c&1
\end{array}\biggr)
で表される1次変換をTとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)xy平面上の同一直線上にない3点P，Q，RがTによってそれぞれP´，Q´，R´に移るとする．三角形P´Q´R´の面積が三角形PQRの面積のk倍(k≧1)となるcの値を求めよ．
(2)楕円
E:\frac{x2}{4}+y2=1
上の点がTによって楕円E´上の点に移るとする．楕円E´上のすべての点が楕円・・・

　国立 弘前大学 2012年 第3問

座標平面に点E(1,0)，F(1,1)，F´(-5,11)がある．さらに点E´は第1象限にあり，Oを原点とするとき，三角形OE´F´は角E´が直角の二等辺三角形である．
(1)点E´の座標を求めよ．
(2)点Eを点E´に，点Fを点F´に移すような1次変換をfとする．fを表す行列を求めよ．
(3)座標平面に三角形OPQがあり，(2)の1次変換fにより点Pが点P^・・・

　国立 徳島大学 2012年 第3問

2次の正方行列Aで表される1次変換をfとする．Oを原点とする座標平面上に，異なる2点P(x1,y1)，Q(x2,y2)があって，次の2つの条件を満たす．
条件1：1次変換fにより，点Pは点(-2x2,-2y2)に移る．
条件2：合成変換f\circfにより，点Qは点(4x1,4y1)に移る．

(1)行列A3で表される1次変換により，点Pは点(-8x1,-8y1)に，点Qは点(-8x2,-8y2)に移ることを示せ．
(2)3点O，P，Qは同一直線上にないことを示し，x1y2-x2y1\・・・

　国立 徳島大学 2012年 第4問

座標平面上に2点P(x,2)，Q(1-√3,y)がある．
(1)原点を中心とする60°の回転移動によって点Pが点Qに移るとき，xとyの値を求めよ．
(2)xとyは(1)で求めた値とする．点Pを点Qに，点Qを点Pに移す1次変換を表す行列Aを求めよ．
(3)自然数nと(2)で求めた行列Aに対し
A+2A2+3A3+4A4+・・・+(2n-1)A^{2n-1}+2nA^{2n}
を求めよ．

　国立 旭川医科大学 2012年 第2問

C1を中心(0,0)，半径1の円とし，C2を中心(0,0)，半径r＞1の円とする．ad-bc＞0を満たす行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})で表される1次変換により円C1が円C2に移るとする．次の問いに答えよ．
(1)a2+c2=b2+d2=r2,ab+cd=0が成り立つことを示せ．
(2)a=rcosθ,c=rsinθ(θ　は実数　)とおくとき，b,dをr,θを用いて表せ．
(3)B=1/r(\begin{array}{cc}
a&b\
c&・・・