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a,bは定数であり,0<a<bとする.定積分
I=∫01a^{1-t}btdt
について,次の問に答えよ.
(1)Iを求めよ.
(2)0≦t≦1のとき,
a^{1-t}bt+atb^{1-t}≧2\sqrt{ab}
であることを示せ.また,I>\sqrt{ab}を示せ.
(3)0<t<1とする.x>1のとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ.
xt<1+t(x-1)
(4)(3)の不等式を利用して,I<\frac{a+b}{2}を示せ.
国立 九州工業大学 2015年 第1問関数f(x)=e^{-x}cos√3xについて以下の問いに答えよ.ただし,eは自然対数の底とする.
(1)0≦x≦\frac{2√3}{3}πの範囲でf(x)=0をみたすxの値をすべて求めよ.
(2)0≦x≦\frac{2√3}{3}πの範囲でf(x)の増減を調べよ.ただし,凹凸は調べなくてよい.
(3)部分積分を2回用いてf(x)の不定積分を求めよ.
(4)0≦x≦\frac{2√3}{3}πの範囲で2つの曲線y=f(x)とy=e^{-x}によって囲まれ・・・
国立 愛媛大学 2015年 第1問次の問いに答えよ.
(1)不定積分∫x3e^{x2}dxを求めよ.
(2)定積分∫_{1/e}e|logx|dxを求めよ.
(3)楕円\frac{x2}{4}+\frac{y2}{2}=1上の点(√2,1)における接線の方程式を求めよ.
(4)(\frac{1+√5}{2})3からその整数部分を引いた値をaとするとき,a4+5a3+4a2+4aの値を求めよ.
(5)実数a,b,cは0<a<b<c,1/b=1/2(1/a・・・
国立 東京農工大学 2015年 第4問f(x)=cosx+sinx-1とする.g(x)は
g(x)=|f(x)|-\frac{1}{4π2}{∫0^{2π}tg(t)dt-3π}
を満たす連続関数とする.次の問いに答えよ.
(1)区間0≦x≦2πにおいてf(x)>0を満たすxの範囲を求めよ.
(2)不定積分∫xf(x)dxを求めよ.
(3)定積分∫0^{2π}t|f(t)|dtの値を求めよ.
(4)g(x)を求めよ.
国立 東京海洋大学 2015年 第4問座標平面上に曲線C:y=x4-2x2+2xがある.直線ℓはCに異なる2点で接している.このとき以下の問に答えよ.ただし{(x4)}´=4x3および∫x4dx=\frac{x5}{5}+D(Dは積分定数)となることを用いてよい.
(1)ℓの方程式を求めよ.
(2)Cとℓで囲まれる図形の面積を求めよ.
(3)実数aに対して,点(0,a)を通るCの接線の本数を求めよ.
国立 茨城大学 2015年 第1問f(x)=2xe^{-x}とおく.ただし,eは自然対数の底とする.以下の各問に答えよ.
(1)0≦x≦3の範囲で,関数y=f(x)の増減,極値,グラフの凹凸,変曲点を調べて,そのグラフの概形をかけ.
(2)正の実数aに対して,Ia=∫01xe^{-ax}dx,Ja=∫01x2e^{-ax}dxとおく.JaをIaとaを用いて表せ.
(3)定積分∫01f(x)dxおよび∫01{f(x)}2dxを求めよ.
(4)曲線y=f(x)と,3直線x=0,・・・
国立 三重大学 2015年 第3問関数f(x)={|x-2|}3-3x2+12xがある.以下の問いに答えよ.
(1)f(x)の増減を調べ,グラフの概形を描け.
(2)曲線y=f(x)と直線y=12の共有点のx座標を求めよ.
(3)曲線y=f(x)と直線y=12で囲まれた図形の面積を求めよ.
[補足説明]必要ならば,自然数nに対して
∫xndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(C は積分定数 )
となることを用いてよい.
国立 三重大学 2015年 第3問関数f(x)={|x-2|}3-3x2+12xがある.以下の問いに答えよ.
(1)f(x)の増減を調べ,グラフの概形を描け.
(2)曲線y=f(x)と直線y=12の共有点のx座標を求めよ.
(3)曲線y=f(x)と直線y=12で囲まれた図形の面積を求めよ.
[補足説明]必要ならば,自然数nに対して
∫xndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(C は積分定数 )
となることを用いてよい.
国立 千葉大学 2015年 第4問0以上の整数nに対して,整式Tn(x)を
T0(x)=1,T1(x)=x,Tn(x)=2xT_{n-1}(x)-T_{n-2}(x)(n=2,3,4,・・・)
で定める.このとき,以下の問いに答えよ.
(1)0以上の任意の整数nに対して
cos(nθ)=Tn(cosθ)
となることを示せ.
(2)定積分
∫_{-1}1Tn(x)dx
の値を求めよ.
私立 立教大学 2015年 第1問次の空欄[ア]~[シ]に当てはまる数または式を記入せよ.
(1)式(2x+3y+z)(x+2y+3z)(3x+y+2z)を展開したときのxyzの係数は[ア]である.
(2)実数x,yが\frac{i}{1+xi}+\frac{x+2}{y+i}=0を満たすとき,x=[イ],y=[ウ]である.ただし,iは虚数単位とする.
(3)定積分∫_{-2}2x|x-1|dxを求めると[エ]である.
(4)2^{1/2},3^{1/3},5^{1/5}の大小関係は[オ]<[カ]<\kakk・・・