茨城大学
2017年 理学部 第2問

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  4. 2017年 - 理学部 - 第2問
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αを複素数の定数とし，自然数nに対して複素数z_nをz_1=0,z_{n+1}=αz_n+1-αで定める．以下の各問に答えよ．(1)z_2,z_3,z_4をそれぞれαを用いて表せ．(2)一般のnについてz_nを推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．以下では，α=1/2(cosθ+isinθ)とする．ただし，iは虚数単位を表し，0≦θ＜2πとする．(3)θ/πが無理数であるとき，どんな自然数nに対してもz_{n+1}は実数にならないことを示せ．(4)自然数nに対して，複素数平面上の2点z_nとz_{n+1}との距離をl_nとする．無限級数Σ_{n=1}^{∞}l_nの和Lを求めよ．さらに，θが0≦θ＜2πの範囲を動くとき，Lの最大値とそのときのθの値を求めよ．
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