首都大学東京
2017年 理系 第1問

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  4. 2017年 - 理系 - 第1問
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nを自然数とし，eを自然対数の底とする．関数f(x)=x^{n-1}e^{-x}について，以下の問いに答えなさい．(1)すべての自然数nに対して，x≧0のときe^x＞\frac{x^n}{n!}が成り立つことを，nに関する数学的帰納法によって示しなさい．(2)極限\lim_{n→∞}f(x)を求めなさい．(3)n≧3の場合に，x＞0の範囲におけるf(x)の最大値，およびそのときのxの値を求めなさい．また，x＞0の範囲におけるy=f(x)のグラフの変曲点のx座標を求めなさい．
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