首都大学東京
2018年 都市教養（理系） 第1問

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  4. 2018年 - 都市教養（理系） - 第1問
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以下の問いに答えなさい．(1)x=tanθとおくことにより，定積分∫_0^1\frac{1}{1+x^2}dxの値を求めなさい．(2)kを0以上の整数とし，xを実数とする．次の不等式が成り立つことを示しなさい．-x^{2k+2}≦\frac{1}{1+x^2}-Σ_{n=1}^{k+1}(-x^2)^{n-1}≦x^{2k+2}(3)∫_0^1Σ_{n=1}^{k+1}(-x^2)^{n-1}dx=Σ_{n=1}^{k+1}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}であることと，(1)および(2)を利用して，無限級数Σ_{n=1}^{∞}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}の和を求めなさい．
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